Номер 16.30, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.30. В треугольнике $ABC$ угол $\text{C}$ равен $60^\circ$, $\text{AD}$ и $\text{BE}$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $\text{O}$ (рис. 16.15). Найдите угол $AOB$.

Рис. 16.15

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Так как по условию $\angle C = 60^\circ$, то сумма двух других углов равна:

$\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Поскольку $AD$ и $BE$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно, они делят эти углы пополам. Точка $O$ является точкой их пересечения. Рассмотрим треугольник $AOB$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны:

$\angle OAB = \frac{1}{2}\angle CAB$

$\angle OBA = \frac{1}{2}\angle CBA$

Сумма углов в треугольнике $AOB$ также равна $180^\circ$:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

Подставим выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$:

$\angle AOB + \frac{1}{2}\angle CAB + \frac{1}{2}\angle CBA = 180^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AOB + \frac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ$

Из первого шага мы знаем, что $\angle CAB + \angle CBA = 120^\circ$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$\angle AOB + \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ$

$\angle AOB + 60^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.