Номер 16.32, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.32. Два угла треугольника равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов (рис. 16.16).

Рис. 16.16

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором два угла равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Обозначим эти углы как $\angle A = 54^\circ$ и $\angle B = 66^\circ$. Найдем третий угол треугольника, $\angle C$, исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В задаче требуется найти острый угол, который образуют высоты, выходящие из вершин углов $A$ и $B$. Пусть $AG$ — высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, а $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $O$ — точка пересечения этих высот.

Рассмотрим четырехугольник $CHOG$. По определению высоты, $AG \perp BC$ и $BH \perp AC$. Следовательно, углы $\angle AGC$ и $\angle BHC$ являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $CHOG$ это записывается как: $\angle C + \angle OGC + \angle HOG + \angle OHC = 360^\circ$.

Мы знаем значения трех углов в этом четырехугольнике: $\angle C = 60^\circ$, $\angle OGC = \angle AGC = 90^\circ$, $\angle OHC = \angle BHC = 90^\circ$.

Подставим эти значения в уравнение для суммы углов: $60^\circ + 90^\circ + \angle HOG + 90^\circ = 360^\circ$.

$240^\circ + \angle HOG = 360^\circ$.

Отсюда находим угол $\angle HOG$: $\angle HOG = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle HOG$ является одним из углов, образованных при пересечении высот $AG$ и $BH$. Этот угол тупой. Острый угол, который образуют высоты, является смежным с углом $\angle HOG$. Найдем его величину: $180^\circ - \angle HOG = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.