Номер 16.29, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.29. В треугольнике $ABC$ $\text{AD}$ — биссектриса, угол $\text{B}$ равен $72^\circ$, угол $CAD$ равен $30^\circ$ (рис. 16.14). Найдите угол $\text{C}$.

Рис. 16.14

Согласно условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Это означает, что угол $BAD$ равен углу $CAD$.

Из условия нам известно, что $\angle CAD = 30^{\circ}$. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAD = \angle CAD = 30^{\circ}$.

Теперь мы можем вычислить величину всего угла $A$ (или $\angle BAC$) треугольника. Он равен сумме его частей: $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.

Мы знаем значения углов $A$ и $B$: $\angle A = 60^{\circ}$ и $\angle B = 72^{\circ}$ (по условию). Подставив эти значения в формулу, найдем угол $C$: $60^{\circ} + 72^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$

$132^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$

$\angle C = 180^{\circ} - 132^{\circ}$

$\angle C = 48^{\circ}$.

Ответ: $48^{\circ}$.