Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

557. Упростите выражение:

a) $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20};$

б) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}.$

а) $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}$

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\frac{\sqrt{7}}{7}$. Также упростим $\sqrt{20}$.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7}$, $\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7}$, $\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$.

Выполним умножение первого члена выражения:

$(\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{2 \cdot 7} - 2\sqrt{5 \cdot 7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \sqrt{3 \cdot 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{2 \cdot 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} - 2\sqrt{5 \cdot 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$(\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{5}\sqrt{7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7})^2}{7} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{7})^2}{7} - \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{7})^2}{7}$

Так как $(\sqrt{7})^2 = 7$, получаем:

$\frac{\sqrt{3} \cdot 7}{7} + \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{7} - \frac{2\sqrt{5} \cdot 7}{7} = \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}$

Теперь подставим полученный результат и упрощенный $\sqrt{20}$ в исходное выражение:

$(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-2\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$\sqrt{3} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

б) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}$

Рассмотрим произведение первых двух сомножителей $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$. Сгруппируем первые два слагаемых в первой скобке:

$((\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

Теперь раскроем скобки, умножив $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ и $-\sqrt{15}$ на $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$:

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{15}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

Первое произведение является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

Раскроем второе произведение:

$-\sqrt{15}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = -(\sqrt{15}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{15}\cdot\sqrt{3}) = -(\sqrt{75} - \sqrt{45})$

Таким образом, произведение первых двух сомножителей равно:

$2 - (\sqrt{75} - \sqrt{45}) = 2 - \sqrt{75} + \sqrt{45}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(2 - \sqrt{75} + \sqrt{45}) + \sqrt{75}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-\sqrt{75}$ и $\sqrt{75}$ взаимно уничтожаются:

$2 + \sqrt{45}$

Упростим оставшийся корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Окончательный результат:

$2 + 3\sqrt{5}$

Ответ: $2 + 3\sqrt{5}$

556. Найдите значение выражения:

$\frac{a - \frac{2a - 1}{a}}{\frac{1 - a}{3a}}$ при $a = -1,5$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Выражение представляет собой сложную (многоэтажную) дробь. Упростим числитель и знаменатель этой дроби по отдельности, а затем выполним деление.

1. Упростим числитель сложной дроби: $a - \frac{2a - 1}{a}$.

Для этого приведем выражение к общему знаменателю $a$:

$a - \frac{2a - 1}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{2a - 1}{a} = \frac{a^2 - (2a - 1)}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a}$

В числителе полученной дроби находится формула квадрата разности: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Таким образом, числитель исходного выражения равен $\frac{(a-1)^2}{a}$.

2. Теперь все выражение можно записать в виде:

$\frac{\frac{(a - 1)^2}{a}}{\frac{1 - a}{3a}}$

3. Выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{(a - 1)^2}{a} \cdot \frac{3a}{1 - a}$

Заметим, что $(a - 1)^2 = (-(1 - a))^2 = (1 - a)^2$. Это позволяет нам переписать выражение для удобства сокращения:

$\frac{(1 - a)^2}{a} \cdot \frac{3a}{1 - a}$

Теперь сократим общие множители $a$ и $(1-a)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq 1$):

$\frac{(1 - a)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} \cdot \frac{3\cancel{a}}{\cancel{1 - a}} = (1-a) \cdot 3 = 3(1-a)$

4. Мы упростили исходное выражение до $3(1-a)$. Теперь подставим в него заданное значение $a = -1,5$:

$3(1 - (-1,5)) = 3(1 + 1,5) = 3(2,5) = 7,5$

Ответ: $7,5$

558. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) $y = 7x - 1$ и $y = 2x;$

б) $y = 3x - 11$ и $y = 4;$

в) $y = 5x + 8$ и $y = 3x + 2;$

г) $y = 4 - x$ и $y = 3x.$

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, не выполняя построения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений. Решив полученное уравнение, мы найдем абсциссу ($x$) точки пересечения. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы вычислим ординату ($y$) этой точки.

а) $y = 7x - 1$ и $y = 2x$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ равны:

$7x - 1 = 2x$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую:

$7x - 2x = 1$

$5x = 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{5}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в одно из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Удобнее использовать второе уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$.

Ответ: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$

б) $y = 3x - 11$ и $y = 4$

В этом случае значение ординаты $y$ уже известно из второго уравнения: $y = 4$.

Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти соответствующее значение $x$:

$4 = 3x - 11$

Решим это уравнение относительно $x$:

$4 + 11 = 3x$

$15 = 3x$

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Координаты точки пересечения: $(5; 4)$.

Ответ: $(5; 4)$

в) $y = 5x + 8$ и $y = 3x + 2$

Приравняем правые части уравнений:

$5x + 8 = 3x + 2$

Соберем члены с $x$ слева, а постоянные члены справа:

$5x - 3x = 2 - 8$

$2x = -6$

Находим $x$:

$x = \frac{-6}{2}$

$x = -3$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -3$ в любое из уравнений, например, во второе $y = 3x + 2$:

$y = 3 \cdot (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$

Координаты точки пересечения: $(-3; -7)$.

Ответ: $(-3; -7)$

г) $y = 4 - x$ и $y = 3x$

Приравняем правые части уравнений:

$4 - x = 3x$

Перенесем член с $x$ из левой части в правую:

$4 = 3x + x$

$4 = 4x$

Находим $x$:

$x = \frac{4}{4}$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 1$ во второе уравнение $y = 3x$:

$y = 3 \cdot 1 = 3$

Координаты точки пересечения: $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$