Страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

559. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух натуральных чисел равно $x$. Так как второе число на 6 больше первого, то оно равно $x+6$.

Согласно условию задачи, произведение этих чисел равно 187. Мы можем составить и решить уравнение:

$x \cdot (x + 6) = 187$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 6x = 187$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + 6x - 187 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{784} = 28$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + 28}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{-6 - 28}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

В условии задачи сказано, что числа натуральные, то есть целые и положительные. Корень $x_2 = -17$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит.

Следовательно, меньшее число равно $11$.

Найдем второе число: $x + 6 = 11 + 6 = 17$.

Проверим: числа 11 и 17 натуральные, их разница $17 - 11 = 6$, а их произведение $11 \cdot 17 = 187$. Все условия выполнены.

Ответ: 11 и 17.

560. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна $60 \text{ см}^2$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, длина на 4 см больше ширины, значит, длина равна $(x + 4)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($l$) на ширину ($w$): $S = l \cdot w$. По условию, площадь равна 60 см². Составим и решим уравнение:

$x \cdot (x + 4) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 4x = 60$

$x^2 + 4x - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не является решением задачи. Следовательно, ширина прямоугольника составляет 6 см.

Найдем длину прямоугольника:

$l = x + 4 = 6 + 4 = 10$ см

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. Подставим найденные значения длины и ширины:

$P = 2 \cdot (10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32$ см

Ответ: 32 см.