Страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

593. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

а) $x^2 + 7x - 1 = 0$;

б) $x^2 - 7x + 1 = 0$;

в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$;

г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$;

д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$;

е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$.

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

Для определения наличия и знаков корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не решая его, используют комбинацию анализа дискриминанта и теоремы Виета.

Шаг 1: Проверка существования корней.

Вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

— Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

— Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни (один или два), и можно переходить к следующему шагу.

Шаг 2: Определение знаков корней (если $D \ge 0$).

Анализируются знаки произведения корней ($x_1 \cdot x_2 = c/a$) и их суммы ($x_1 + x_2 = -b/a$) согласно теореме Виета.

— Если произведение корней $c/a < 0$, то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

— Если произведение корней $c/a > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. В этом случае для уточнения знака дополнительно анализируется их сумма: если сумма корней $-b/a > 0$, то оба корня положительны; если сумма корней $-b/a < 0$, то оба корня отрицательны.

— Если произведение корней $c/a = 0$ (что означает $c=0$), то один из корней равен нулю.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

Ниже представлено решение для всех заданий.

а) $x^2 + 7x - 1 = 0$

1. Проверим наличие корней, вычислив дискриминант. Для этого уравнения коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=-1$.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определим знаки корней с помощью теоремы Виета.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -1/1 = -1$.

Так как произведение корней является отрицательным числом, корни имеют разные знаки.

Ответ: уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

б) $x^2 - 7x + 1 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=1$.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определим знаки корней.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/1 = 1$. Произведение положительно, следовательно, корни одного знака.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-7)/1 = 7$. Сумма положительна, следовательно, оба корня являются положительными.

Ответ: уравнение имеет два положительных корня.

в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=5$, $b=17$, $c=16$.

$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 - 320 = -31$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=19$, $b=-23$, $c=5$.

$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определим знаки корней.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 5/19$. Произведение положительно, значит, корни одного знака.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-23)/19 = 23/19$. Сумма положительна, значит, оба корня положительны.

Ответ: уравнение имеет два положительных корня.

д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=2$, $b=5\sqrt{3}$, $c=11$.

$D = b^2 - 4ac = (5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 25 \cdot 3 - 88 = 75 - 88 = -13$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$

1. Проверим наличие корней. Коэффициенты: $a=11$, $b=-9$, $c = 7 - 5\sqrt{2}$.

Сначала оценим знак коэффициента $c$. Так как $7 = \sqrt{49}$ и $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$, то $c = \sqrt{49} - \sqrt{50} < 0$.

Так как $a > 0$ и $c < 0$, то их произведение $ac < 0$, а значит, слагаемое $-4ac$ в формуле дискриминанта будет положительным. $b^2$ также всегда неотрицательно. Сумма неотрицательного и положительного числа всегда положительна, следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.

2. Определим знаки корней.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = (7 - 5\sqrt{2})/11$.

Поскольку мы установили, что числитель $7 - 5\sqrt{2}$ отрицателен, а знаменатель $11$ положителен, то все произведение $c/a$ отрицательно.

Так как произведение корней отрицательно, они имеют разные знаки.

Ответ: уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

595. (Для работы в парах.) Уравнение $x^2 + 5x + m = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Найдите, при каком значении $m$:

a) сумма квадратов корней равна 35;

б) сумма кубов корней равна 40.

1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + 5x + m = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m \ge 0$. Отсюда получаем условие: $4m \le 25$, то есть $m \le 6.25$. Мы будем проверять каждое найденное значение $m$ на соответствие этому условию.

а) сумма квадратов корней равна 35

По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 35$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение значения из теоремы Виета: $x_1^2 + x_2^2 = (-5)^2 - 2m = 25 - 2m$.

Теперь приравняем полученное выражение к заданному значению 35 и найдем $m$: $25 - 2m = 35$ $-2m = 35 - 25$ $-2m = 10$ $m = -5$

Проверим выполнение условия для действительных корней: $m \le 6.25$. Поскольку $-5 \le 6.25$, условие выполняется. При $m = -5$ уравнение имеет действительные корни.

Ответ: $m = -5$.

б) сумма кубов корней равна 40

По условию, $x_1^3 + x_2^3 = 40$. Выразим сумму кубов корней через их сумму и произведение. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$. Можно преобразовать это выражение: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Подставим значения из теоремы Виета: $x_1^3 + x_2^3 = (-5)((-5)^2 - 3m) = -5(25 - 3m)$.

Приравняем полученное выражение к 40 и решим уравнение относительно $m$: $-5(25 - 3m) = 40$ $25 - 3m = \frac{40}{-5}$ $25 - 3m = -8$ $3m = 25 + 8$ $3m = 33$ $m = 11$

Проверим выполнение условия для действительных корней: $m \le 6.25$. Значение $m = 11$ не удовлетворяет этому условию, так как $11 > 6.25$. При $m=11$ дискриминант $D = 25 - 4(11) = 25 - 44 = -19 < 0$. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Однако, если рассматривать комплексные корни, теорема Виета и все основанные на ней соотношения остаются верными. Сумма кубов комплексно-сопряженных корней будет действительным числом. Таким образом, $m = 11$ является решением задачи, если не накладывать ограничение на то, что корни должны быть действительными.

Ответ: $m = 11$.

597. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $8 : 15$, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи катеты относятся как $8:15$, следовательно, их можно представить через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 8x$ и $b = 15x$. Длина гипотенузы дана: $c = 6,8$ м.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения и выражения в теорему Пифагора и решим уравнение относительно $x$:
$(8x)^2 + (15x)^2 = (6,8)^2$
$64x^2 + 225x^2 = 46,24$
$289x^2 = 46,24$
$x^2 = \frac{46,24}{289}$
$x = \sqrt{\frac{46,24}{289}} = \frac{6,8}{17} = 0,4$

Теперь, зная коэффициент $x=0,4$ м, мы можем найти длины катетов:
Катет $a = 8x = 8 \cdot 0,4 = 3,2$ м.
Катет $b = 15x = 15 \cdot 0,4 = 6,0$ м.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Подставим найденные длины катетов в формулу для вычисления площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3,2 \cdot 6,0 = \frac{19,2}{2} = 9,6$ м$^2$.

Ответ: $9,6$ м$^2$.

599. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, большая сторона будет равна $(x + 14)$ см.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. Стороны $x$ и $(x + 14)$ являются катетами этого треугольника, а диагональ, равная 34 см, — его гипотенузой.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Составим уравнение на основе этой теоремы:

$x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$

Раскроем скобки и выполним вычисления:

$x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 14 + 14^2) = 1156$

$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$

$2x^2 + 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 14x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$

$x_1 = \frac{-14 + 46}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-14 - 46}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -30$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника равна 16 см.

Найдем длину большей стороны:

$x + 14 = 16 + 14 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.

Ответ: 16 см и 30 см.

594. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) $3x^2 + 113x - 7 = 0;$

б) $5x^2 - 291x - 16 = 0.$

Для доказательства воспользуемся следствием из теоремы Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения.

1. Если корни имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть положительным. Согласно теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Следовательно, для того чтобы корни имели одинаковые знаки, должно выполняться условие $\frac{c}{a} > 0$, что означает, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки.

2. Если корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный), то их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть отрицательным. Следовательно, должно выполняться условие $\frac{c}{a} < 0$, что означает, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки. Отметим, что в этом случае уравнение всегда имеет два действительных корня, так как дискриминант $D = b^2 - 4ac$ будет положительным (поскольку $b^2 \ge 0$, а произведение $-4ac > 0$).

Проверим знаки коэффициентов $a$ и $c$ в заданных уравнениях.

а) $3x^2 + 113x - 7 = 0$

В данном уравнении старший коэффициент $a = 3$ (положительный), а свободный член $c = -7$ (отрицательный). Так как коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки, то их отношение $\frac{c}{a}$ отрицательно.

Найдем произведение корней уравнения по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{3}$

Поскольку произведение корней является отрицательным числом, корни обязательно имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). Следовательно, они не могут иметь одинаковые знаки.

Ответ: Уравнение не может иметь корни одинаковых знаков, так как произведение корней, равное $\frac{c}{a} = -\frac{7}{3}$, является отрицательным числом.

б) $5x^2 - 291x - 16 = 0$

В данном уравнении старший коэффициент $a = 5$ (положительный), а свободный член $c = -16$ (отрицательный). Так как коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки, то их отношение $\frac{c}{a}$ отрицательно.

Найдем произведение корней уравнения по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-16}{5}$

Поскольку произведение корней является отрицательным числом, корни обязательно имеют разные знаки. Следовательно, они не могут иметь одинаковые знаки.

Ответ: Уравнение не может иметь корни одинаковых знаков, так как произведение корней, равное $\frac{c}{a} = -\frac{16}{5}$, является отрицательным числом.

596. При каких значениях x верно равенство:

а) $(3x + 1)^2 = 3x + 1;$

б) $(3x + 1)^2 = 3(x + 1);$

в) $(3x + 1)^2 = (2x - 5)^2;$

г) $(3x + 4)^2 = 4(x + 3);$

д) $4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2;$

е) $(6x + 3)^2 = (x - 4)^2?$

а) Решим уравнение $(3x + 1)^2 = 3x + 1$.
Это уравнение можно решить, перенеся все члены в левую часть и разложив на множители.
$(3x + 1)^2 - (3x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(3x + 1)$ за скобки:
$(3x + 1)((3x + 1) - 1) = 0$
$(3x + 1)(3x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -1/3$.
2) $3x = 0 \implies x = 0$.
Ответ: $x = -1/3$, $x = 0$.

б) Решим уравнение $(3x + 1)^2 = 3(x + 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы:
$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 3x + 3$
$9x^2 + 6x + 1 = 3x + 3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$9x^2 + 6x - 3x + 1 - 3 = 0$
$9x^2 + 3x - 2 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 9 + 72 = 81$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 + 9}{18} = \frac{6}{18} = 1/3$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 - 9}{18} = \frac{-12}{18} = -2/3$.
Ответ: $x = -2/3$, $x = 1/3$.

в) Решим уравнение $(3x + 1)^2 = (2x - 5)^2$.
Уравнение вида $A^2 = B^2$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.
1) $3x + 1 = 2x - 5$
$3x - 2x = -5 - 1$
$x = -6$.
2) $3x + 1 = -(2x - 5)$
$3x + 1 = -2x + 5$
$3x + 2x = 5 - 1$
$5x = 4$
$x = 4/5$.
Ответ: $x = -6$, $x = 4/5$.

г) Решим уравнение $(3x + 4)^2 = 4(x + 3)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 4x + 12$
$9x^2 + 24x + 16 = 4x + 12$
Перенесем все в левую часть:
$9x^2 + 24x - 4x + 16 - 12 = 0$
$9x^2 + 20x + 4 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 20^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 9} = \frac{-20 + 16}{18} = \frac{-4}{18} = -2/9$.
$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 9} = \frac{-20 - 16}{18} = \frac{-36}{18} = -2$.
Ответ: $x = -2$, $x = -2/9$.

д) Решим уравнение $4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2$.
Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$(2x + 6)^2 = (2(x + 3))^2 = 2^2(x + 3)^2 = 4(x + 3)^2$.
Уравнение принимает вид:
$4(x + 3)^2 = 4(x + 3)^2$.
Это равенство является тождеством, так как левая часть всегда равна правой. Следовательно, оно верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ – любое число.

е) Решим уравнение $(6x + 3)^2 = (x - 4)^2$.
Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно $A = B$ или $A = -B$.
1) $6x + 3 = x - 4$
$6x - x = -4 - 3$
$5x = -7$
$x = -7/5$.
2) $6x + 3 = -(x - 4)$
$6x + 3 = -x + 4$
$6x + x = 4 - 3$
$7x = 1$
$x = 1/7$.
Ответ: $x = -7/5$, $x = 1/7$.

598. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $ \frac{13}{12} $, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = a + b + c$.

Из условия задачи известно, что отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{13}{12}$. Пусть это будет катет $a$. Таким образом, мы имеем соотношение:$\frac{c}{a} = \frac{13}{12}$Также нам дан второй катет: $b = 15$ см.

Из отношения $\frac{c}{a} = \frac{13}{12}$ мы можем ввести коэффициент пропорциональности $x$, так что $c = 13x$ и $a = 12x$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, чтобы связать все три стороны:$(12x)^2 + b^2 = (13x)^2$$144x^2 + b^2 = 169x^2$Выразим $b^2$:$b^2 = 169x^2 - 144x^2$$b^2 = 25x^2$$b = \sqrt{25x^2} = 5x$ (длина стороны является положительной величиной).

Таким образом, стороны треугольника соотносятся как $5:12:13$. Нам известно, что длина второго катета $b$ равна 15 см. Сопоставим это с нашим выражением для $b$:$5x = 15$Отсюда находим значение $x$:$x = \frac{15}{5} = 3$

Теперь мы можем найти длины катета $a$ и гипотенузы $c$:Катет $a = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.Гипотенуза $c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Итак, стороны треугольника равны 15 см, 36 см и 39 см.Найдем периметр треугольника, сложив длины всех его сторон:$P = 15 + 36 + 39 = 51 + 39 = 90$ см.

Ответ: 90 см.