Номер 597, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 597, страница 138.

597. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $8 : 15$, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи катеты относятся как $8:15$, следовательно, их можно представить через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 8x$ и $b = 15x$. Длина гипотенузы дана: $c = 6,8$ м.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения и выражения в теорему Пифагора и решим уравнение относительно $x$:
$(8x)^2 + (15x)^2 = (6,8)^2$
$64x^2 + 225x^2 = 46,24$
$289x^2 = 46,24$
$x^2 = \frac{46,24}{289}$
$x = \sqrt{\frac{46,24}{289}} = \frac{6,8}{17} = 0,4$

Теперь, зная коэффициент $x=0,4$ м, мы можем найти длины катетов:
Катет $a = 8x = 8 \cdot 0,4 = 3,2$ м.
Катет $b = 15x = 15 \cdot 0,4 = 6,0$ м.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Подставим найденные длины катетов в формулу для вычисления площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3,2 \cdot 6,0 = \frac{19,2}{2} = 9,6$ м$^2$.

Ответ: $9,6$ м$^2$.