Номер 591, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 591, страница 137.

591. Разность квадратов корней уравнения $x^2 + 2x + q = 0$ равна 12.

Найдите $q$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 + 2x + q = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -2$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

По условию задачи, разность квадратов корней равна 12. Запишем это в виде уравнения (предположим, что $x_1$ — больший по модулю корень):
$x_1^2 - x_2^2 = 12$

Используем формулу разности квадратов, чтобы разложить левую часть уравнения:
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$

Мы уже знаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = -2$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(x_1 - x_2) \cdot (-2) = 12$

Отсюда найдем разность корней:
$x_1 - x_2 = \frac{12}{-2} = -6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 - x_2 = -6 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x_1$:
$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -2 + (-6)$
$2x_1 = -8$
$x_1 = -4$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы ($x_1 + x_2 = -2$), чтобы найти $x_2$:
$-4 + x_2 = -2$
$x_2 = -2 + 4$
$x_2 = 2$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Теперь, используя вторую формулу из теоремы Виета ($x_1 \cdot x_2 = q$), найдем искомое значение $q$:
$q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 2 = -8$

Ответ: -8