Страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) $x^2 - 2x - 9 = 0;$

б) $3x^2 - 4x - 4 = 0;$

в) $2x^2 + 7x - 6 = 0;$

г) $2x^2 + 9x + 8 = 0.$

а) $x^2 - 2x - 9 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -2$, $q = -9$.
Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a = 1, b = -2, c = -9$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) + 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$.
$x_2 = \frac{-(-2) - 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней должна быть равна $-p$, а их произведение должно быть равно $q$.
В нашем случае $p = -2$ и $q = -9$.
1. Проверим сумму корней: $x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2$.
Сравним с $-p$: $-p = -(-2) = 2$. Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется.
2. Проверим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$.
Сравним с $q$: $q = -9$. Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $1 + \sqrt{10}$; $1 - \sqrt{10}$.

б) $3x^2 - 4x - 4 = 0$
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты: $a = 3, b = -4, c = -4$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-4) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
1. Проверим сумму корней: $x_1 + x_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Сравним с $-\frac{b}{a}$: $-\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$. Равенство выполняется.
2. Проверим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Сравним с $\frac{c}{a}$: $\frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $2$; $-\frac{2}{3}$.

в) $2x^2 + 7x - 6 = 0$
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты: $a = 2, b = 7, c = -6$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97$.
$\sqrt{D} = \sqrt{97}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
1. Проверим сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-7 + \sqrt{97} - 7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$.
Сравним с $-\frac{b}{a}$: $-\frac{7}{2}$. Равенство выполняется.
2. Проверим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-7 + \sqrt{97}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-7 - \sqrt{97}}{4}\right) = \frac{(-7)^2 - (\sqrt{97})^2}{16} = \frac{49 - 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3$.
Сравним с $\frac{c}{a}$: $\frac{-6}{2} = -3$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $\frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$; $\frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$.

г) $2x^2 + 9x + 8 = 0$
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты: $a = 2, b = 9, c = 8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17$.
$\sqrt{D} = \sqrt{17}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$.
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
1. Проверим сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-9 + \sqrt{17} - 9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Сравним с $-\frac{b}{a}$: $-\frac{9}{2}$. Равенство выполняется.
2. Проверим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-9 + \sqrt{17}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-9 - \sqrt{17}}{4}\right) = \frac{(-9)^2 - (\sqrt{17})^2}{16} = \frac{81 - 17}{16} = \frac{64}{16} = 4$.
Сравним с $\frac{c}{a}$: $\frac{8}{2} = 4$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $\frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$; $\frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$.

583. Найдите подбором корни уравнения:

а) $x^2 - 9x + 20 = 0;$

б) $x^2 + 11x - 12 = 0;$

в) $x^2 + x - 56 = 0;$

г) $x^2 - 19x + 88 = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 20$.
Теперь подберем два числа, произведение которых равно 20, а сумма равна 9. Возможные пары целых множителей для числа 20: (1, 20), (2, 10), (4, 5). Проверим их сумму: $1+20=21$, $2+10=12$, $4+5=9$. Пара чисел 4 и 5 удовлетворяет обоим условиям.
Ответ: 4; 5.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 11x - 12 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -11$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Подберем два числа, произведение которых равно -12, а сумма -11. Так как произведение отрицательное, корни имеют разные знаки. Возможные пары целых множителей для числа -12: (1, -12), (-1, 12), (2, -6), (-2, 6), (3, -4), (-3, 4). Проверим их сумму: $1+(-12)=-11$. Эта пара нам подходит. Проверим остальные для полноты: $-1+12=11$, $2+(-6)=-4$, $-2+6=4$, $3+(-4)=-1$, $-3+4=1$. Корни уравнения - это 1 и -12.
Ответ: -12; 1.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + x - 56 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -56$.
Подберем два числа, произведение которых равно -56, а сумма -1. Корни имеют разные знаки. Возможные пары целых множителей для числа -56: (1, -56), (-1, 56), (2, -28), (-2, 28), (4, -14), (-4, 14), (7, -8), (-7, 8). Проверим их сумму: $7+(-8)=-1$. Эта пара подходит. Таким образом, корни уравнения - это 7 и -8.
Ответ: -8; 7.

г) Рассмотрим уравнение $x^2 - 19x + 88 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-19) = 19$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 88$.
Подберем два числа, произведение которых равно 88, а сумма равна 19. Так как и произведение, и сумма положительны, оба корня положительны. Возможные пары целых множителей для числа 88: (1, 88), (2, 44), (4, 22), (8, 11). Проверим их сумму: $1+88=89$, $2+44=46$, $4+22=26$, $8+11=19$. Пара чисел 8 и 11 удовлетворяет обоим условиям.
Ответ: 8; 11.

585. В уравнении $x^2 + px - 35 = 0$ один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент $p$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 35 = 0$. Известно, что один из его корней, обозначим его $x_1$, равен 7. Необходимо найти второй корень $x_2$ и коэффициент $p$.

Для решения этой задачи удобнее всего воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения для корней $x_1$ и $x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 35 = 0$ коэффициенты равны $b = p$ и $c = -35$.

Нахождение другого корня

Воспользуемся формулой для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.

Подставим известные значения $x_1 = 7$ и $c = -35$:

$7 \cdot x_2 = -35$

Отсюда выразим и найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-35}{7}$

$x_2 = -5$

Нахождение коэффициента p

Теперь воспользуемся формулой для суммы корней: $x_1 + x_2 = -b$.

Подставим найденные корни $x_1 = 7$, $x_2 = -5$ и учтем, что $b=p$:

$7 + (-5) = -p$

$2 = -p$

Отсюда находим коэффициент $p$:

$p = -2$

Для проверки можно подставить найденное значение $p = -2$ в исходное уравнение и получить $x^2 - 2x - 35 = 0$. Корнями этого уравнения действительно являются числа 7 и -5, так как их сумма равна $7+(-5)=2$ (что равно $-p$), а их произведение равно $7 \cdot (-5) = -35$ (что равно $c$).

Ответ: другой корень равен -5, коэффициент $p = -2$.

587. Один из корней уравнения $5x^2 + bx + 24 = 0$ равен 8. Найдите другой корень и коэффициент $b$.

Дано квадратное уравнение $5x^2 + bx + 24 = 0$. Известно, что один из его корней, который мы обозначим как $x_1$, равен 8. Нам нужно найти второй корень $x_2$ и коэффициент $b$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты $a = 5$ и $c = 24$.

другой корень

Мы можем найти второй корень $x_2$, используя формулу для произведения корней, так как нам известны $x_1$, $a$ и $c$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставляем известные значения $x_1 = 8$, $a = 5$, $c = 24$:

$8 \cdot x_2 = \frac{24}{5}$

Теперь выражаем $x_2$, разделив обе части уравнения на 8:

$x_2 = \frac{24}{5} \div 8 = \frac{24}{5 \cdot 8}$

Сокращаем дробь на 8:

$x_2 = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: другой корень равен 0.6.

коэффициент b

Теперь, когда мы знаем оба корня ($x_1 = 8$ и $x_2 = 0.6$), мы можем найти коэффициент $b$, используя формулу для суммы корней.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставляем известные значения $x_1 = 8$, $x_2 = 0.6$ и $a = 5$:

$8 + 0.6 = -\frac{b}{5}$

$8.6 = -\frac{b}{5}$

Чтобы найти $b$, умножаем обе части на -5:

$b = -8.6 \cdot 5$

$b = -43$

Ответ: коэффициент $b$ равен -43.

589. Разность корней квадратного уравнения $x^2 - 12x + q = 0$ равна 2. Найдите $q$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 - 12x + q = 0$.

Согласно условию задачи, разность корней равна 2. Запишем это в виде уравнения, предположив, что $x_1$ — больший корень:
$x_1 - x_2 = 2$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + k = 0$ справедливы следующие соотношения для его корней $x_1$ и $x_2$: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = k$.

В нашем уравнении $x^2 - 12x + q = 0$ коэффициент при $x$ равен -12, а свободный член равен $q$. Применяя теорему Виета, получаем:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 12 \\x_1 - x_2 = 2\end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:
$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 12 + 2$
$2x_1 = 14$
$x_1 = \frac{14}{2} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x_1 = 7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:
$7 + x_2 = 12$
$x_2 = 12 - 7 = 5$

Таким образом, корни уравнения равны 7 и 5. Проверим их разность: $7 - 5 = 2$, что соответствует условию.

Теперь, зная корни, мы можем найти неизвестный параметр $q$, используя второе соотношение из теоремы Виета:
$q = x_1 \cdot x_2$
$q = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: $q = 35$.

591. Разность квадратов корней уравнения $x^2 + 2x + q = 0$ равна 12.

Найдите $q$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 + 2x + q = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -2$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

По условию задачи, разность квадратов корней равна 12. Запишем это в виде уравнения (предположим, что $x_1$ — больший по модулю корень):
$x_1^2 - x_2^2 = 12$

Используем формулу разности квадратов, чтобы разложить левую часть уравнения:
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$

Мы уже знаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = -2$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(x_1 - x_2) \cdot (-2) = 12$

Отсюда найдем разность корней:
$x_1 - x_2 = \frac{12}{-2} = -6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 - x_2 = -6 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x_1$:
$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -2 + (-6)$
$2x_1 = -8$
$x_1 = -4$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы ($x_1 + x_2 = -2$), чтобы найти $x_2$:
$-4 + x_2 = -2$
$x_2 = -2 + 4$
$x_2 = 2$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Теперь, используя вторую формулу из теоремы Виета ($x_1 \cdot x_2 = q$), найдем искомое значение $q$:
$q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 2 = -8$

Ответ: -8

580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) $x^2 - 37x + 27 = 0$;

б) $y^2 + 41y - 371 = 0$;

в) $x^2 - 210x = 0$;

г) $y^2 - 19 = 0$;

д) $2x^2 - 9x - 10 = 0$;

е) $5x^2 + 12x + 7 = 0$;

ж) $-z^2 + z = 0$;

з) $3x^2 - 10 = 0$.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0$) используется теорема Виета. Теорема утверждает, что если уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение могут быть найдены по формулам:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Воспользуемся этими формулами для решения каждого из предложенных уравнений. Перед применением формул необходимо убедиться, что корни существуют (дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$). Для всех представленных уравнений это условие выполняется.

а) $x^2 - 37x + 27 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=-37$, $c=27$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-37}{1} = 37$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{27}{1} = 27$.

Ответ: сумма корней равна 37, произведение корней равно 27.

б) $y^2 + 41y - 371 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=41$, $c=-371$.

Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{41}{1} = -41$.

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-371}{1} = -371$.

Ответ: сумма корней равна -41, произведение корней равно -371.

в) $x^2 - 210x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=-210$, $c=0$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-210}{1} = 210$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: сумма корней равна 210, произведение корней равно 0.

г) $y^2 - 19 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=0$, $c=-19$.

Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{0}{1} = 0$.

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-19}{1} = -19$.

Ответ: сумма корней равна 0, произведение корней равно -19.

д) $2x^2 - 9x - 10 = 0$

Это полное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=-10$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{2} = -5$.

Ответ: сумма корней равна 4.5, произведение корней равно -5.

е) $5x^2 + 12x + 7 = 0$

Здесь коэффициенты: $a=5$, $b=12$, $c=7$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{12}{5} = -2.4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{5} = 1.4$.

Ответ: сумма корней равна -2.4, произведение корней равно 1.4.

ж) $-z^2 + z = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=-1$, $b=1$, $c=0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{-1} = 1$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: сумма корней равна 1, произведение корней равно 0.

з) $3x^2 - 10 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=3$, $b=0$, $c=-10$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{0}{3} = 0$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$.

Ответ: сумма корней равна 0, произведение корней равно $-\frac{10}{3}$.

582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

a) $x^2 - 15x - 16 = 0$;

б) $x^2 - 6x - 11 = 0$;

в) $12x^2 - 4x - 1 = 0$;

г) $x^2 - 6 = 0$;

д) $5x^2 - 18x = 0$;

е) $2x^2 - 41 = 0$.

а) Дано уравнение $x^2 - 15x - 16 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1, b = -15, c = -16$.
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Корни уравнения: $x_1 = 16$ и $x_2 = -1$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем уравнении $p = -15$ и $q = -16$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = 16 + (-1) = 15$. Так как $-p = -(-15) = 15$, условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16$. Так как $q = -16$, условие выполняется.
Поскольку оба условия теоремы, обратной теореме Виета, выполняются, найденные корни верны.
Ответ: $16; -1$.

б) Дано уравнение $x^2 - 6x - 11 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1, b = -6, c = -11$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$.
$\sqrt{D} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$.
Корни уравнения: $x_1 = 3 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - 2\sqrt{5}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
В уравнении $x^2 - 6x - 11 = 0$ коэффициенты $p = -6$ и $q = -11$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$. Так как $-p = -(-6) = 6$, условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = (3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 3^2 - (2\sqrt{5})^2 = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $q = -11$, условие выполняется.
Поскольку оба условия выполняются, найденные корни верны.
Ответ: $3 \pm 2\sqrt{5}$.

в) Дано уравнение $12x^2 - 4x - 1 = 0$. Это полное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 12, b = -4, c = -1$.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 12} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{6}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для общего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. В уравнении $-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$. В уравнении $\frac{c}{a} = \frac{-1}{12} = -\frac{1}{12}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполняются, найденные корни верны.
Ответ: $\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}$.

г) Дано уравнение $x^2 - 6 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Его можно записать как $x^2 + 0x - 6 = 0$.
$x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
В уравнении $p=0$, $q=-6$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$. Так как $-p = -0 = 0$, условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$. Так как $q = -6$, условие выполняется.
Найденные корни верны.
Ответ: $\pm\sqrt{6}$.

д) Дано уравнение $5x^2 - 18x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки.
$x(5x - 18) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $5x - 18 = 0 \implies 5x = 18 \implies x_2 = \frac{18}{5} = 3.6$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{18}{5}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Запишем уравнение в виде $5x^2 - 18x + 0 = 0$. Коэффициенты: $a=5, b=-18, c=0$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = 0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$. В уравнении $-\frac{b}{a} = -\frac{-18}{5} = \frac{18}{5}$. Условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \frac{18}{5} = 0$. В уравнении $\frac{c}{a} = \frac{0}{5} = 0$. Условие выполняется.
Найденные корни верны.
Ответ: $0; \frac{18}{5}$.

е) Дано уравнение $2x^2 - 41 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Его можно записать как $2x^2 + 0x - 41 = 0$.
$2x^2 = 41 \implies x^2 = \frac{41}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{41}{2}}$.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
В уравнении $a=2, b=0, c=-41$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} + (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = 0$. В уравнении $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0$. Условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} \cdot (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = -\frac{41}{2}$. В уравнении $\frac{c}{a} = \frac{-41}{2} = -\frac{41}{2}$. Условие выполняется.
Найденные корни верны.
Ответ: $\pm\sqrt{\frac{41}{2}}$.

584. Найдите подбором корни уравнения:

а) $x^2 + 16x + 63 = 0;$

б) $x^2 + 2x - 48 = 0.$

а) $x^2 + 16x + 63 = 0$

Для нахождения корней подбором воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В данном уравнении коэффициенты $p = 16$ и $q = 63$. Следовательно, нам нужно найти два числа, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -16$

$x_1 \cdot x_2 = 63$

Так как произведение корней ($63$) — положительное число, а их сумма ($-16$) — отрицательное, то оба корня должны быть отрицательными. Начнем подбор, рассматривая пары целых отрицательных множителей числа $63$:

1. Пара $(-1, -63)$. Проверим сумму: $-1 + (-63) = -64$. Не подходит.

2. Пара $(-3, -21)$. Проверим сумму: $-3 + (-21) = -24$. Не подходит.

3. Пара $(-7, -9)$. Проверим сумму: $-7 + (-9) = -16$. Эта пара удовлетворяет обоим условиям.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -9$.

Проведем проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:

Для $x = -7$: $(-7)^2 + 16(-7) + 63 = 49 - 112 + 63 = 112 - 112 = 0$. Верно.

Для $x = -9$: $(-9)^2 + 16(-9) + 63 = 81 - 144 + 63 = 144 - 144 = 0$. Верно.

Ответ: $-9; -7$.

б) $x^2 + 2x - 48 = 0$

Это также приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Здесь коэффициенты $p = 2$ и $q = -48$. Искомые корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять системе:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -48$

Так как произведение корней ($-48$) отрицательно, то корни имеют разные знаки. Поскольку их сумма ($-2$) отрицательна, отрицательный корень по модулю больше положительного. Будем подбирать пары множителей числа $-48$, удовлетворяющие этому условию.

1. Пара $(1, -48)$. Сумма: $1 + (-48) = -47$. Не подходит.

2. Пара $(2, -24)$. Сумма: $2 + (-24) = -22$. Не подходит.

3. Пара $(3, -16)$. Сумма: $3 + (-16) = -13$. Не подходит.

4. Пара $(4, -12)$. Сумма: $4 + (-12) = -8$. Не подходит.

5. Пара $(6, -8)$. Сумма: $6 + (-8) = -2$. Эта пара подходит.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$.

Проведем проверку:

Для $x = 6$: $6^2 + 2(6) - 48 = 36 + 12 - 48 = 48 - 48 = 0$. Верно.

Для $x = -8$: $(-8)^2 + 2(-8) - 48 = 64 - 16 - 48 = 64 - 64 = 0$. Верно.

Ответ: $-8; 6$.

586. Один из корней уравнения $x^2 - 13x + q = 0$ равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент $q$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = c$

В заданном уравнении $x^2 - 13x + q = 0$ коэффициенты равны: $p = -13$, $c = q$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ верны равенства:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
$x_1 \cdot x_2 = q$

другой корень
По условию задачи, один из корней равен 12,5. Пусть $x_1 = 12,5$. Используя первое соотношение Виета (формулу для суммы корней), найдем второй корень $x_2$:
$12,5 + x_2 = 13$
Вычтем 12,5 из обеих частей уравнения:
$x_2 = 13 - 12,5$
$x_2 = 0,5$
Ответ: 0,5.

коэффициент q
Теперь, зная оба корня ($x_1 = 12,5$ и $x_2 = 0,5$), мы можем найти коэффициент $q$, используя второе соотношение Виета (формулу для произведения корней):
$q = x_1 \cdot x_2$
$q = 12,5 \cdot 0,5$
$q = 6,25$
Также можно найти $q$, подставив известный корень $x_1=12,5$ в исходное уравнение, так как он должен обращать уравнение в верное равенство:
$(12,5)^2 - 13(12,5) + q = 0$
$156,25 - 162,5 + q = 0$
$-6,25 + q = 0$
$q = 6,25$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 6,25.

588. Один из корней уравнения $10x^2 - 33x + c = 0$ равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент c.

Дано квадратное уравнение $10x^2 - 33x + c = 0$. В этом уравнении коэффициенты $a=10$ и $b=-33$. Один из корней, обозначим его $x_1$, равен 5,3. Нам нужно найти второй корень ($x_2$) и коэффициент $c$.

Для решения этой задачи удобнее всего воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Нахождение другого корня

Воспользуемся формулой для суммы корней. Подставим в нее известные значения $x_1 = 5,3$, $a = 10$ и $b = -33$:

$5,3 + x_2 = -\frac{-33}{10}$

$5,3 + x_2 = \frac{33}{10}$

$5,3 + x_2 = 3,3$

Теперь выразим и вычислим второй корень $x_2$:

$x_2 = 3,3 - 5,3$

$x_2 = -2$

Таким образом, другой корень уравнения равен -2.

Нахождение коэффициента $c$

Теперь, когда мы знаем оба корня ($x_1 = 5,3$ и $x_2 = -2$), мы можем использовать формулу для произведения корней, чтобы найти коэффициент $c$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$5,3 \cdot (-2) = \frac{c}{10}$

$-10,6 = \frac{c}{10}$

Выразим и вычислим $c$:

$c = -10,6 \cdot 10$

$c = -106$

Следовательно, коэффициент $c$ равен -106.

Ответ: другой корень равен -2, коэффициент $c = -106$.

590. Разность корней квадратного уравнения $x^2 + x + c = 0$ равна 6.

Найдите $c$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + x + c = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты равны $a=1$, $b=1$, а свободный член равен $c$.

Применяя теорему Виета, получаем:

1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$

2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} = c$

По условию задачи, разность корней равна 6. Запишем это как $x_1 - x_2 = 6$ (или $x_2 - x_1 = 6$, что не повлияет на итоговый результат, так как мы будем использовать квадрат разности).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 - x_2 = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -1 + 6$

$2x_1 = 5$

$x_1 = 2.5$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение, чтобы найти $x_2$:

$2.5 + x_2 = -1$

$x_2 = -1 - 2.5$

$x_2 = -3.5$

Теперь, зная оба корня, мы можем найти $c$ из второго соотношения теоремы Виета:

$c = x_1 \cdot x_2 = 2.5 \cdot (-3.5) = -8.75$

Альтернативный способ решения:

Можно использовать тождество, связывающее сумму, разность и произведение корней:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Из условия мы знаем, что $x_1 - x_2 = 6$, а из теоремы Виета, что $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1x_2 = c$. Подставим эти значения в тождество:

$6^2 = (-1)^2 - 4c$

$36 = 1 - 4c$

$4c = 1 - 36$

$4c = -35$

$c = -\frac{35}{4} = -8.75$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $c = -8.75$

592. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 3x + a = 0$ равна 65. Найдите $a$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3x + a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. Согласно условию задачи, сумма квадратов корней равна 65, что можно записать в виде уравнения: $x_1^2 + x_2^2 = 65$.

Для решения этой задачи применим теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 3x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -3$ и $q = a$. Применяя теорему Виета, получаем:
$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = a$

Теперь выразим сумму квадратов корней ($x_1^2 + x_2^2$) через их сумму ($x_1 + x_2$) и произведение ($x_1 \cdot x_2$), используя известное алгебраическое тождество:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество известные нам значения: $x_1^2 + x_2^2 = 65$ (из условия), $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1x_2 = a$ (из теоремы Виета).
$65 = (3)^2 - 2 \cdot a$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$65 = 9 - 2a$
$2a = 9 - 65$
$2a = -56$
$a = \frac{-56}{2}$
$a = -28$

Для полноты решения проверим, имеет ли уравнение действительные корни при найденном значении $a$. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9 - 4a$
Подставим $a = -28$:
$D = 9 - 4(-28) = 9 + 112 = 121$
Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, наше решение корректно.

Ответ: $a = -28$.