Страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

602. Найдите корни уравнения:

а) $ \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1} $

б) $ \frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3 - 2y)}{y(6 - y)} $

в) $ \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4} $

г) $ \frac{8y - 5}{y} = \frac{9y}{y + 2} $

д) $ \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2 $

е) $ \frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x} $

ж) $ x + 2 = \frac{15}{4x + 1} $

з) $ \frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9} $

а) $\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель $x^2 + 1$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \geq 1$, следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Так как знаменатели равны, приравниваем числители:

$x^2 = 7x$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x - 7) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 7$

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $0; 7$.

б) $\frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3 - 2y)}{y(6 - y)}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$y^2 - 6y \neq 0 \Rightarrow y(y - 6) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq 6$.

$y(6 - y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq 6$.

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 6$.

Преобразуем знаменатель правой части: $y(6 - y) = -y(y - 6)$. Уравнение примет вид:

$\frac{y^2}{y(y - 6)} = \frac{4(3 - 2y)}{-y(y - 6)}$

$\frac{y^2}{y(y - 6)} = -\frac{12 - 8y}{y(y - 6)}$

Приравниваем числители:

$y^2 = -(12 - 8y)$

$y^2 = -12 + 8y$

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 8$, $y_1 \cdot y_2 = 12$. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 6$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условиям. Корень $y_2 = 6$ не удовлетворяет условию $y \neq 6$, поэтому является посторонним.

Ответ: $2$.

в) $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4}$

ОДЗ: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ и $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6$

$x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$-6x - 5x = 6 - 8$

$-11x = -2$

$x = \frac{2}{11}$

Корень $x = \frac{2}{11}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{11}$.

г) $\frac{8y - 5}{y} = \frac{9y}{y + 2}$

ОДЗ: $y \neq 0$ и $y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2$.

Применим перекрестное умножение:

$(8y - 5)(y + 2) = y \cdot 9y$

$8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2$

$8y^2 + 11y - 10 = 9y^2$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 11$, $y_1 \cdot y_2 = 10$. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 10$.

д) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2$

ОДЗ: $x^2 + 1 \neq 0$, что верно для любых действительных $x$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 1$:

$x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)$

$x^2 + 3 = 2x^2 + 2$

$2x^2 - x^2 = 3 - 2$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $-1; 1$.

е) $\frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x}$

ОДЗ: $x^2 + 2 \neq 0$ (верно для всех $x$) и $x \neq 0$.

Применим перекрестное умножение:

$3x = 1(x^2 + 2)$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 2$.

ж) $x + 2 = \frac{15}{4x + 1}$

ОДЗ: $4x + 1 \neq 0 \Rightarrow 4x \neq -1 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{4}$.

Умножим обе части уравнения на $4x+1$:

$(x + 2)(4x + 1) = 15$

$4x^2 + x + 8x + 2 = 15$

$4x^2 + 9x - 13 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289 = 17^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 17}{8}$

$x_1 = \frac{-9 - 17}{8} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4}$

$x_2 = \frac{-9 + 17}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{13}{4}; 1$.

з) $\frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9}$

ОДЗ: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Применим перекрестное умножение:

$9(x^2 - 5) = (x - 1)(7x + 10)$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 10x - 7x - 10$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10$

$2x^2 - 3x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 17}{4}$

$x_1 = \frac{3 - 17}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 17}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{7}{2}; 5$.

604. При каком значении x:

а) значение функции $y = \frac{2x-1}{x+6}$ равно 5; -3; 0; 2;

б) значение функции $y = \frac{x^2+x-2}{x+3}$ равно -10; 0; -5?

а) Чтобы найти, при каком значении $x$ функция $y = \frac{2x - 1}{x + 6}$ принимает заданные значения, необходимо приравнять функцию к этим значениям и решить получившиеся уравнения. Область допустимых значений для переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

• Если значение функции равно 5:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = 5$
$2x - 1 = 5(x + 6)$
$2x - 1 = 5x + 30$
$2x - 5x = 30 + 1$
$-3x = 31$
$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3}$
Данное значение $x$ удовлетворяет условию $x \neq -6$.

• Если значение функции равно -3:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = -3$
$2x - 1 = -3(x + 6)$
$2x - 1 = -3x - 18$
$2x + 3x = -18 + 1$
$5x = -17$
$x = -\frac{17}{5} = -3.4$
Данное значение $x$ удовлетворяет условию $x \neq -6$.

• Если значение функции равно 0:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
При $x = \frac{1}{2}$ знаменатель $x+6 \neq 0$, поэтому это решение.

• Если значение функции равно 2:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = 2$
$2x - 1 = 2(x + 6)$
$2x - 1 = 2x + 12$
$-1 = 12$
Получено неверное числовое равенство, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: значение функции равно 5 при $x = -10\frac{1}{3}$; равно -3 при $x = -3.4$; равно 0 при $x = 0.5$; значение функции не может быть равным 2.

б) Чтобы найти, при каком значении $x$ функция $y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 3}$ принимает заданные значения, необходимо приравнять функцию к этим значениям и решить получившиеся уравнения. Область допустимых значений для переменной $x$ определяется условием $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

• Если значение функции равно -10:
$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -10$
$x^2 + x - 2 = -10(x + 3)$
$x^2 + x - 2 = -10x - 30$
$x^2 + 11x + 28 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = -7$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -3$.

• Если значение функции равно 0:
$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю.
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -3$.

• Если значение функции равно -5:
$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -5$
$x^2 + x - 2 = -5(x + 3)$
$x^2 + x - 2 = -5x - 15$
$x^2 + 6x + 13 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: значение функции равно -10 при $x = -4$ и $x = -7$; равно 0 при $x = 1$ и $x = -2$; значение функции не может быть равным -5.

606. Найдите значение переменной $y$, при котором:

а) сумма дробей $\frac{3y+9}{3y-1}$ и $\frac{2y-13}{2y+5}$ равна 2;

б) разность дробей $\frac{5y+13}{5y+4}$ и $\frac{4-6y}{3y-1}$ равна 3;

в) сумма дробей $\frac{y+1}{y-5}$ и $\frac{10}{y+5}$ равна их произведению;

г) разность дробей $\frac{6}{y-4}$ и $\frac{y}{y+2}$ равна их произведению.

а) сумма дробей $\frac{3y+9}{3y-1}$ и $\frac{2y-13}{2y+5}$ равна 2;
Согласно условию, составим уравнение:
$\frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5} = 2$
Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$3y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{3}$
$2y+5 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{5}{2}$
Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(3y-1)(2y+5)$:
$\frac{(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1)}{(3y-1)(2y+5)} = 2$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ:
$(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1) = 2(3y-1)(2y+5)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(6y^2 + 15y + 18y + 45) + (6y^2 - 2y - 39y + 13) = 2(6y^2 + 15y - 2y - 5)$
Приведем подобные слагаемые:
$(6y^2 + 33y + 45) + (6y^2 - 41y + 13) = 2(6y^2 + 13y - 5)$
$12y^2 - 8y + 58 = 12y^2 + 26y - 10$
Сократим $12y^2$ в обеих частях и перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а константы в другую:
$58 + 10 = 26y + 8y$
$68 = 34y$
$y = \frac{68}{34}$
$y = 2$
Полученное значение $y=2$ входит в область допустимых значений.
Ответ: 2.

б) разность дробей $\frac{5y+13}{5y+4}$ и $\frac{4-6y}{3y-1}$ равна 3;
Составим уравнение на основе условия:
$\frac{5y+13}{5y+4} - \frac{4-6y}{3y-1} = 3$
ОДЗ: $5y+4 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{4}{5}$ и $3y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(5y+4)(3y-1)$:
$\frac{(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(5y+4)}{(5y+4)(3y-1)} = 3$
Избавимся от знаменателя, умножив на него обе части уравнения:
$(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(5y+4) = 3(5y+4)(3y-1)$
Раскроем скобки:
$(15y^2 - 5y + 39y - 13) - (20y + 16 - 30y^2 - 24y) = 3(15y^2 - 5y + 12y - 4)$
Приведем подобные слагаемые:
$(15y^2 + 34y - 13) - (-30y^2 - 4y + 16) = 3(15y^2 + 7y - 4)$
$15y^2 + 34y - 13 + 30y^2 + 4y - 16 = 45y^2 + 21y - 12$
$45y^2 + 38y - 29 = 45y^2 + 21y - 12$
Сократим $45y^2$ и решим линейное уравнение:
$38y - 21y = -12 + 29$
$17y = 17$
$y = 1$
Значение $y=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1.

в) сумма дробей $\frac{y+1}{y-5}$ и $\frac{10}{y+5}$ равна их произведению;
Запишем уравнение в соответствии с условием:
$\frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} \cdot \frac{10}{y+5}$
ОДЗ: $y-5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$ и $y+5 \neq 0 \Rightarrow y \neq -5$.
Упростим правую часть и приведем левую к общему знаменателю $(y-5)(y+5)$:
$\frac{(y+1)(y+5) + 10(y-5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{10(y+1)}{(y-5)(y+5)}$
Поскольку знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$(y+1)(y+5) + 10(y-5) = 10(y+1)$
Раскроем скобки и упростим:
$(y^2 + 5y + y + 5) + 10y - 50 = 10y + 10$
$y^2 + 6y + 5 + 10y - 50 = 10y + 10$
$y^2 + 16y - 45 = 10y + 10$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:
$y^2 + 16y - 10y - 45 - 10 = 0$
$y^2 + 6y - 55 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна -6, а произведение -55. Это числа -11 и 5.
$y_1 = -11$, $y_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2 = 5$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель $y-5$ обращается в ноль. Корень $y_1 = -11$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -11.

г) разность дробей $\frac{6}{y-4}$ и $\frac{y}{y+2}$ равна их произведению.
Составим уравнение:
$\frac{6}{y-4} - \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} \cdot \frac{y}{y+2}$
ОДЗ: $y-4 \neq 0 \Rightarrow y \neq 4$ и $y+2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(y-4)(y+2)$ и упростим правую:
$\frac{6(y+2) - y(y-4)}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$
Приравняем числители, так как знаменатели одинаковы и не равны нулю в ОДЗ:
$6(y+2) - y(y-4) = 6y$
Раскроем скобки:
$6y + 12 - y^2 + 4y = 6y$
$-y^2 + 10y + 12 = 6y$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-y^2 + 10y - 6y + 12 = 0$
$-y^2 + 4y + 12 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$y^2 - 4y - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 4, произведение равно -12. Корни: 6 и -2.
$y_1 = 6$, $y_2 = -2$.
Сверим корни с ОДЗ. Корень $y_2 = -2$ является посторонним, так как знаменатель $y+2$ при этом значении равен нулю. Корень $y_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 6.

603. Решите уравнение:

a) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1;$

б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5;$

в) $\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y};$

г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1;$

д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x};$

е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}.$

а) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$ и умножим обе части уравнения на него:
$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1 \cdot (x+2)(x-2)$
Раскроем скобки:
$(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$
$(3x^2 - 5x - 2) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$
$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$
$2x^2 - 6x = x^2 - 4$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 - 6x + 4 = 0$
$x^2 - 6x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$
$\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$
Оба корня $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{5}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}$.

б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5$

ОДЗ: $y+3 \neq 0 \implies y \neq -3$ и $y-3 \neq 0 \implies y \neq 3$.
Общий знаменатель: $(y+3)(y-3) = y^2-9$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3) = 5(y+3)(y-3)$
Раскроем скобки:
$(2y^2 - 6y - 2y + 6) + (y^2 + 6y + 9) = 5(y^2 - 9)$
$2y^2 - 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5y^2 - 45$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 5y^2 - 3y^2 + 2y - 45 - 15$
$2y^2 + 2y - 60 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 + y - 30 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -30$.
Подбором находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \pm 3$).
Ответ: -6; 5.

в) $\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$

Разложим знаменатели на множители: $9y^2-1 = (3y-1)(3y+1)$ и $1-3y = -(3y-1)$.
ОДЗ: $3y+1 \neq 0 \implies y \neq -1/3$ и $3y-1 \neq 0 \implies y \neq 1/3$.
Перепишем уравнение:
$\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{-(3y-1)}$
$\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$
Общий знаменатель: $(3y-1)(3y+1)$. Умножим обе части на него:
$4 - 4(3y-1) = -5(3y+1)$
Раскроем скобки и решим линейное уравнение:
$4 - 12y + 4 = -15y - 5$
$8 - 12y = -15y - 5$
$15y - 12y = -5 - 8$
$3y = -13$
$y = -13/3$
Корень $y = -13/3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-13/3$.

г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение:
$\frac{4}{x+3} - \frac{5}{-(x-3)} = \frac{1}{x-3} - 1$
$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$
Перенесем дроби в левую часть, а -1 оставим в правой:
$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{x-3} = -1$
$\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = -1$
Приведем к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2-9$:
$\frac{4(x-3) + 4(x+3)}{(x+3)(x-3)} = -1$
$4x - 12 + 4x + 12 = -(x^2-9)$
$8x = -x^2 + 9$
$x^2 + 8x - 9 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$.
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).
Ответ: -9; 1.

д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x}$

Разложим знаменатель в правой части: $x^2-x = x(x-1)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Общий знаменатель: $x(x-1)$. Умножим обе части на него:
$3(x-1) + 4x = 5-x$
$3x - 3 + 4x = 5-x$
$7x - 3 = 5 - x$
$7x + x = 5 + 3$
$8x = 8$
$x = 1$
Полученный корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), следовательно, он является посторонним.
Ответ: корней нет.

е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}$

Разложим знаменатель в правой части: $y^2-2y = y(y-2)$.
ОДЗ: $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0 \implies y \neq 2$.
Общий знаменатель: $y(y-2)$. Умножим обе части на него:
$(3y-2)(y-2) - 1 \cdot y = 3y+4$
$3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y+4$
$3y^2 - 9y + 4 = 3y+4$
Перенесем все члены в левую часть:
$3y^2 - 9y - 3y + 4 - 4 = 0$
$3y^2 - 12y = 0$
Вынесем общий множитель $3y$ за скобки:
$3y(y-4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$3y = 0 \implies y_1 = 0$
$y-4 = 0 \implies y_2 = 4$
Проверим корни по ОДЗ ($y \neq 0, y \neq 2$).
Корень $y_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Корень $y_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4.

605. Найдите корни уравнения:

а) $\frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x+5} = 2;$

б) $\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12};$

в) $\frac{7y-3}{y-y^2} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)};$

г) $\frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y};$

д) $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3};$

е) $\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3}.$

а) $\frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x+5} = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x-5 \neq 0$ и $x+5 \neq 0$. Отсюда $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{(x-4)(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{(x-6)(x-5)}{(x-5)(x+5)} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(x-5)(x+5)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) = 2(x-5)(x+5)$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 5x - 4x - 20) + (x^2 - 5x - 6x + 30) = 2(x^2 - 25)$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x - 20 + x^2 - 11x + 30 = 2x^2 - 50$

$2x^2 - 10x + 10 = 2x^2 - 50$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а остальные в другую:

$-10x = -50 - 10$

$-10x = -60$

$x = 6$

Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \neq 5$ и $6 \neq -5$).

Ответ: $6$.

б) $\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12}$

Преобразуем уравнение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$ и $3x^2-12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)$.

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Перепишем уравнение:

$-\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$

$0 = \frac{2}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$

Общий знаменатель $3(x-2)(x+2)$. Умножим на него обе части:

$0 = 2 \cdot 3(x+2) + 1 \cdot 3(x-2)(x+2) - (6-x)$

$0 = 6(x+2) + 3(x^2-4) - 6 + x$

$0 = 6x + 12 + 3x^2 - 12 - 6 + x$

$3x^2 + 7x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{3}; -3$.

в) $\frac{7y-3}{y-y^2} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}$

Преобразуем знаменатель $y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1)$.

ОДЗ: $y \neq 0$ и $y \neq 1$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{7y-3}{-y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}$

$-\frac{7y-3}{y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}$

Умножим обе части на общий знаменатель $y(y-1)$:

$-(7y-3) = 1 \cdot y - 5$

$-7y + 3 = y - 5$

$3 + 5 = y + 7y$

$8 = 8y$

$y=1$

Однако, значение $y=1$ не входит в ОДЗ, так как при $y=1$ знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y}$

ОДЗ: $y \neq 2$, $y \neq -2$, $y \neq 0$.

Общий знаменатель $y(y-2)(y+2)$. Умножим обе части на него:

$3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y-2)(y+2)$

Раскроем скобки:

$3y^2 + 6y + 7y^2 - 14y = 10(y^2-4)$

$10y^2 - 8y = 10y^2 - 40$

$-8y = -40$

$y=5$

Корень $y=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

д) $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3}$

ОДЗ: $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Заметим, что дроби в левой части взаимно обратные. Сделаем замену: пусть $t = \frac{x+3}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+3} = \frac{1}{t}$. Правая часть $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$.

Умножим на $3t$ (при $t \neq 0$):

$3t^2 + 3 = 10t$

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$t_1 = \frac{10+8}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Вернемся к исходной переменной:

1) $\frac{x+3}{x-3} = 3 \implies x+3 = 3(x-3) \implies x+3 = 3x-9 \implies 12 = 2x \implies x=6$.

2) $\frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{3} \implies 3(x+3) = x-3 \implies 3x+9 = x-3 \implies 2x = -12 \implies x=-6$.

Оба корня $x=6$ и $x=-6$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -6$.

е) $\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3}$

ОДЗ: $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Перепишем правую часть: $8\frac{2}{3} = \frac{26}{3}$. Общий знаменатель $3(x-2)(x+2)$.

Умножим обе части на общий знаменатель:

$3(5x+7)(x+2) - 3(2x+21)(x-2) = 26(x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$3(5x^2 + 10x + 7x + 14) - 3(2x^2 - 4x + 21x - 42) = 26(x^2 - 4)$

$3(5x^2 + 17x + 14) - 3(2x^2 + 17x - 42) = 26x^2 - 104$

$15x^2 + 51x + 42 - 6x^2 - 51x + 126 = 26x^2 - 104$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 + 168 = 26x^2 - 104$

$168 + 104 = 26x^2 - 9x^2$

$272 = 17x^2$

$x^2 = \frac{272}{17}$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

Оба корня $x=4$ и $x=-4$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $4; -4$.