Страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

600. Найдите корни уравнения:

а) $ \frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3} $;

б) $ \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4} $;

в) $ \frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x} $;

г) $ \frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y} $;

д) $ \frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1} $;

е) $ \frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3} $;

ж) $ \frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y} $;

з) $ \frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x} $;

и) $ \frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0 $.

а) $\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $y+3 \neq 0$, то есть $y \neq -3$.

Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, можем приравнять числители:

$y^2 = y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^2 - y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$y_1 = 0$

$y_2 = 1$

Оба корня ($0$ и $1$) удовлетворяют ОДЗ ($y \neq -3$).

Ответ: 0; 1.

б) $\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$x^2 = 5x - 6$

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решаем уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Проверяем, соответствуют ли корни ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, поэтому это посторонний корень. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3.

в) $\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $2-x \neq 0$. Оба условия означают, что $x \neq 2$.

Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{-(x-2)}$

$\frac{2x^2}{x-2} = -\frac{-7x+6}{x-2}$

$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{7x-6}{x-2}$

Теперь приравниваем числители:

$2x^2 = 7x - 6$

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$

$x_1 = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1,5.

г) $\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y}$

ОДЗ: $y-5 \neq 0$ и $5-y \neq 0$. Оба условия означают, что $y \neq 5$.

Преобразуем знаменатель правой части: $5-y = -(y-5)$.

$\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{-(y-5)}$

$\frac{y^2-6y}{y-5} = -\frac{5}{y-5}$

Перенесем дробь из правой части влево:

$\frac{y^2-6y}{y-5} + \frac{5}{y-5} = 0$

$\frac{y^2-6y+5}{y-5} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

По теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = 5$.

Корень $y_2 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 5$). Корень $y_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.

д) $\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}$

ОДЗ: $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28$

$2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = (3x^2 - 2x^2) + (25x + 3x) + (28 - 1)$

$x^2 + 28x + 27 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -27; -1.

е) $\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3}$

ОДЗ: $2y-1 \neq 0 \implies y \neq 0.5$ и $y+3 \neq 0 \implies y \neq -3$.

Применим перекрестное умножение:

$(2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1)$

$2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 - y - 10y + 5$

$2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5$

Сократим $2y^2$ в обеих частях и соберем переменные слева, а константы справа:

$9y + 11y = 5 - 9$

$20y = -4$

$y = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5} = -0.2$

Корень $y = -0.2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -0,2.

ж) $\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y}$

ОДЗ: $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$ и $y \neq 0$.

Применим перекрестное умножение:

$y(5y+1) = (y+1)(y+2)$

$5y^2 + y = y^2 + 2y + y + 2$

$5y^2 + y = y^2 + 3y + 2$

Перенесем все члены влево:

$4y^2 - 2y - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2y^2 - y - 1 = 0$

Решаем через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -0,5; 1.

з) $\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}$

ОДЗ: $1-2x \neq 0 \implies x \neq 0.5$ и $1+2x \neq 0 \implies x \neq -0.5$.

Применим перекрестное умножение:

$(1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)$

$1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2$

$1 + 5x + 6x^2 = 5 - 13x + 6x^2$

Сократим $6x^2$ и решим линейное уравнение:

$5x + 13x = 5 - 1$

$18x = 4$

$x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

Корень $x = \frac{2}{9}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

и) $\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0 \implies x \neq -1.5$ и $3-2x \neq 0 \implies x \neq 1.5$.

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x}$

Применим перекрестное умножение:

$(x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3)$

$3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3$

$-2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3$

Сократим $-3$ в обеих частях и перенесем все члены вправо:

$0 = (4x^2 + 2x^2) + (4x - 5x)$

$0 = 6x^2 - x$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(6x-1) = 0$

Отсюда корни:

$x_1 = 0$

$6x-1=0 \implies x_2 = \frac{1}{6}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; $\frac{1}{6}$.

601. Решите уравнение:

a) $ \frac{2x - 5}{x + 5} - 4 = 0; $

б) $ \frac{12}{7 - x} = x; $

в) $ \frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{3x - 2}{2x}; $

г) $ \frac{10}{2x - 3} = x - 1; $

д) $ \frac{8}{x} = 3x + 2; $

е) $ \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3}; $

ж) $ \frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0; $

з) $ \frac{4x^3 - 9x}{x + 1,5} = 0. $

а)

Дано уравнение $\frac{2x - 5}{x + 5} - 4 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $x+5$:

$\frac{2x - 5 - 4(x+5)}{x + 5} = 0$

$\frac{2x - 5 - 4x - 20}{x + 5} = 0$

$\frac{-2x - 25}{x + 5} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель ($x \neq -5$) мы уже учли.

Приравняем числитель к нулю:

$-2x - 25 = 0$

$-2x = 25$

$x = -\frac{25}{2} = -12.5$

Полученный корень $x = -12.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-12.5$.

б)

Дано уравнение $\frac{12}{7 - x} = x$.

ОДЗ: $7 - x \neq 0$, то есть $x \neq 7$.

Умножим обе части уравнения на $(7 - x)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$12 = x(7 - x)$

Раскроем скобки:

$12 = 7x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Подбором находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

$x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3$

Оба корня, 3 и 4, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 7$).

Ответ: $3; 4$.

в)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{3x - 2}{2x}$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $4x \neq 0$ и $2x \neq 0$, что дает одно условие $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $4x$:

$x^2 - 4 = \frac{3x - 2}{2x} \cdot 4x$

$x^2 - 4 = (3x - 2) \cdot 2$

$x^2 - 4 = 6x - 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 6x - 4 + 4 = 0$

$x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $6$.

г)

Дано уравнение $\frac{10}{2x - 3} = x - 1$.

ОДЗ: $2x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$ или $x \neq 1.5$.

Умножим обе части на $(2x - 3)$:

$10 = (x - 1)(2x - 3)$

Раскроем скобки в правой части:

$10 = 2x^2 - 3x - 2x + 3$

$10 = 2x^2 - 5x + 3$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 5x + 3 - 10 = 0$

$2x^2 - 5x - 7 = 0$

Решим через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4}$

$x_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$

$x_2 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба корня, -1 и 3.5, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1.5$).

Ответ: $-1; 3.5$.

д)

Дано уравнение $\frac{8}{x} = 3x + 2$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части на $x$:

$8 = x(3x + 2)$

$8 = 3x^2 + 2x$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 10}{6}$

$x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Оба корня, $-2$ и $\frac{4}{3}$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-2; \frac{4}{3}$.

е)

Дано уравнение $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3}$.

ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 2x^2 + 12x - 4x = 0$

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).

Ответ: $-8; 0$.

ж)

Дано уравнение $\frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$

$x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

2. Проверим, что знаменатель не равен нулю для этих корней:

$10x - 5 \neq 0 \implies 10x \neq 5 \implies x \neq 0.5$.

Оба найденных корня ($1$ и $1.5$) не равны $0.5$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $1; 1.5$.

з)

Дано уравнение $\frac{4x^3 - 9x}{x + 1.5} = 0$.

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Решим уравнение числителя:

$4x^3 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $4x^2 - 9 = 0$

Решим второе уравнение: $4x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{4} \implies x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$.

$x_2 = 1.5$

$x_3 = -1.5$

2. Проверим условие для знаменателя:

$x + 1.5 \neq 0 \implies x \neq -1.5$.

Сравнивая полученные корни с этим условием, видим, что корень $x_3 = -1.5$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль.

Остаются два корня: $0$ и $1.5$.

Ответ: $0; 1.5$.