Страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

608. Решите уравнение:

а) $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$;

б) $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}$;

в) $\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0$;

г) $\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}$.

а) Исходное уравнение: $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-5)(x+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$10 + x(x-5) = 3(x+1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10 + x^2 - 5x = 3x + 3$

$x^2 - 5x - 3x + 10 - 3 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Получилось квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 7$

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ (не равны 5 и -1), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 7$.

б) Исходное уравнение: $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, поэтому $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+4)$:

$17 - 1 \cdot (x+4) = x \cdot (x-3)$

Раскроем скобки:

$17 - x - 4 = x^2 - 3x$

$13 - x = x^2 - 3x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + x - 13 = 0$

$x^2 - 2x - 13 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$

Корни $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{14}$ не равны 3 и -4, поэтому оба входят в ОДЗ.

Ответ: $1 \pm \sqrt{14}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0$.

Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x+1)^2(x-1)^2$. Умножим на него обе части уравнения:

$4(x-1)^2 - 1(x+1)^2 + (x-1)(x+1) = 0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$4(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 1) = 0$

$4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2 + x^2) + (-8x - 2x) + (4 - 1 - 1) = 0$

$4x^2 - 10x + 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$

Корни уравнения:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Оба корня, $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$, не равны 1 и -1, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}$.

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$9x^2-1 = (3x-1)(3x+1)$

$3x^2-x = x(3x-1)$

$9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$

Уравнение принимает вид: $\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} + \frac{1}{x(3x-1)} = \frac{4}{(3x-1)^2}$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$, $3x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Общий знаменатель равен $x(3x-1)^2(3x+1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$4x(3x-1) + (3x-1)(3x+1) = 4x(3x+1)$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 = 12x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$21x^2 - 4x - 1 - 12x^2 - 4x = 0$

$9x^2 - 8x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$x_2 = \frac{8 - 10}{2 \cdot 9} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Оба корня ($1$ и $-\frac{1}{9}$) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $1; -\frac{1}{9}$.

610. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

а) $1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1 \frac{7}{24};$

б) $1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{3}{5}.$

1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

а) $1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1\frac{7}{24}$
Для решения этого уравнения будем последовательно упрощать его, двигаясь "снаружи внутрь".
1. Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь: $1\frac{7}{24} = \frac{1 \cdot 24 + 7}{24} = \frac{31}{24}$.
2. Перенесем 1 из левой части уравнения в правую:
$\frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = \frac{31}{24} - 1 = \frac{31 - 24}{24} = \frac{7}{24}$
3. Если две дроби вида $\frac{1}{A}$ и $\frac{B}{C}$ равны, то равны и их обратные величины: $A = \frac{C}{B}$. Применим это свойство ("перевернем" обе дроби):
$3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7}$
4. Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7} - 3 = \frac{24 - 3 \cdot 7}{7} = \frac{24 - 21}{7} = \frac{3}{7}$
5. Снова применим свойство обратных величин:
$2 + \frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3}$
6. Вычтем 2 из обеих частей:
$\frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3}$
7. Из равенства дробей с числителями, равными 1, следует, что их знаменатели также равны:
$5 - x^2 = 3$
8. Найдем $x^2$:
$x^2 = 5 - 3$
$x^2 = 2$
9. Найдем корни уравнения:
$x = \pm\sqrt{2}$
Проверка области допустимых значений (ОДЗ): все знаменатели в исходной дроби не должны равняться нулю. При $x^2 = 2$ ни один из знаменателей не обращается в ноль, следовательно, корни подходят.
Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.

б) $1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{3}{5}$
Решаем аналогично предыдущему пункту.
1. Выразим многоэтажную дробь из уравнения. Для этого перенесем ее в правую часть, а $\frac{3}{5}$ в левую:
$1 - \frac{3}{5} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}}$
$\frac{2}{5} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}}$
2. Так как дроби равны, то равны и их обратные величины:
$\frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
3. Вычтем 2 из обеих частей:
$\frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
$\frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
4. Из равенства дробей с одинаковыми числителями следует равенство их знаменателей:
$2 = 1 + \frac{1}{10 - x^2}$
5. Вычтем 1 из обеих частей:
$1 = \frac{1}{10 - x^2}$
6. Это равенство выполняется, если знаменатель дроби равен 1:
$10 - x^2 = 1$
7. Найдем $x^2$:
$x^2 = 10 - 1$
$x^2 = 9$
8. Найдем корни уравнения:
$x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$
Проверка области допустимых значений (ОДЗ): все знаменатели в исходной дроби не должны равняться нулю. При $x^2 = 9$ ни один из знаменателей не обращается в ноль, следовательно, корни подходят.
Ответ: $x = \pm 3$.

607. Решите уравнение:

а) $\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$;

б) $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$;

в) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}$;

г) $\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y}$;

д) $1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}$;

е) $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3$.

а) $\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y \neq 2$, $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $y(y-2)(y-3)$:

$\frac{5y(y-3)}{y(y-2)(y-3)} - \frac{4y(y-2)}{y(y-2)(y-3)} = \frac{(y-2)(y-3)}{y(y-2)(y-3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, при условии, что он не равен нулю:

$5y(y-3) - 4y(y-2) = (y-2)(y-3)$

Раскроем скобки:

$5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y = y^2 - 3y - 2y + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6$

Перенесем все члены с $y$ в одну сторону, а числа в другую:

$y^2 - y^2 - 7y + 5y = 6$

$-2y = 6$

$y = -3$

Корень $y=-3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -3$

б) $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$

ОДЗ: $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x+3} = 0$

Общий знаменатель: $2(x+1)(x+2)(x+3)$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 3 \cdot 2(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0$

Числитель дроби должен быть равен нулю:

$(x^2 + 5x + 6) + 2(x^2 + 4x + 3) - 6(x^2 + 3x + 2) = 0$

$x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 - 6x^2 - 18x - 12 = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^2 + 2x^2 - 6x^2) + (5x + 8x - 18x) + (6 + 6 - 12) = 0$

$-3x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(-3x - 5) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $-3x - 5 = 0$, что дает $x_2 = -\frac{5}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{5}{3}$

в) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 2x = x(x-2)$

$x^3 - 4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:

$1 \cdot x(x-2) + 1 \cdot (x+2) = 8$

$x^2 - 2x + x + 2 = 8$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни по ОДЗ. $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ. $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель $x+2$ обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Ответ: $x = 3$

г) $\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y}$

Разложим знаменатели на множители:

$y^3 - y = y(y^2 - 1) = y(y-1)(y+1)$

$y - y^2 = y(1-y) = -y(y-1)$

Уравнение принимает вид:

$\frac{10}{y(y-1)(y+1)} - \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y+1}$

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 1$, $y \neq -1$.

Общий знаменатель $y(y-1)(y+1)$. Умножим обе части на него:

$10 - 1(y+1) = 1 \cdot y(y-1)$

$10 - y - 1 = y^2 - y$

$9 - y = y^2 - y$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1 = 3, y_2 = -3$

д) $1 + \frac{45}{x^2 - 8x + 16} = \frac{14}{x-4}$

Заметим, что знаменатель $x^2 - 8x + 16$ является полным квадратом: $(x-4)^2$.

Уравнение принимает вид:

$1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}$

ОДЗ: $x \neq 4$.

Общий знаменатель $(x-4)^2$. Умножим обе части на него:

$1 \cdot (x-4)^2 + 45 = 14(x-4)$

$x^2 - 8x + 16 + 45 = 14x - 56$

$x^2 - 8x + 61 = 14x - 56$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 8x - 14x + 61 + 56 = 0$

$x^2 - 22x + 117 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 117 = 484 - 468 = 16$.

$x = \frac{22 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{22 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{22+4}{2} = 13$

$x_2 = \frac{22-4}{2} = 9$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = 13$

е) $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3$

Разложим знаменатель второй дроби: $3-6x+3x^2 = 3(1-2x+x^2) = 3(x-1)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3$

ОДЗ: $x \neq 1$.

Общий знаменатель $3(x-1)^2$. Умножим обе части на него:

$5 \cdot 3(x-1) - 4 = 3 \cdot 3(x-1)^2$

$15(x-1) - 4 = 9(x-1)^2$

$15x - 15 - 4 = 9(x^2 - 2x + 1)$

$15x - 19 = 9x^2 - 18x + 9$

Перенесем все в правую часть:

$0 = 9x^2 - 18x - 15x + 9 + 19$

$9x^2 - 33x + 30 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$3x^2 - 11x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.

$x = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 1}{6}$

$x_1 = \frac{11+1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{11-1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{5}{3}$

609. Найдите корни уравнения:

а) $\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x};$

б) $\frac{2}{y^2-3y} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3-9y};$

в) $\frac{18}{4x^2+4x+1} - \frac{1}{2x^2-x} = \frac{6}{4x^2-1};$

г) $\frac{3(4y^2+10y-7)}{16y^2-9} = \frac{3y-7}{3-4y} + \frac{6y+5}{3+4y}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x} $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ x \neq -1 $, $ x \neq 2 $ и $ x \neq 0 $.

Приведем правую часть к общему знаменателю $ x(x-2) $:

$ \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x} = \frac{16x - 6(x-2)}{x(x-2)} = \frac{16x - 6x + 12}{x(x-2)} = \frac{10x + 12}{x(x-2)} $

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{21}{x+1} = \frac{10x+12}{x(x-2)} $

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$ 21 \cdot x(x-2) = (10x+12)(x+1) $

Раскроем скобки:

$ 21(x^2 - 2x) = 10x^2 + 10x + 12x + 12 $

$ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 $

$ 11x^2 - 64x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624 = 68^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -\frac{2}{11}$.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{y^2-3y} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3-9y} $

Разложим знаменатели на множители:

$ y^2-3y = y(y-3) $

$ y^3-9y = y(y^2-9) = y(y-3)(y+3) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{2}{y(y-3)} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y(y-3)(y+3)} $

ОДЗ: $ y \neq 0 $, $ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ y(y-3)(y+3) $:

$ 2(y+3) - 1 \cdot y(y+3) = 5 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 2y + 6 - (y^2 + 3y) = 5 $

$ 2y + 6 - y^2 - 3y = 5 $

$ -y^2 - y + 1 = 0 $

$ y^2 + y - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $

Корни уравнения:

$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $

$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{18}{4x^2+4x+1} - \frac{1}{2x^2-x} = \frac{6}{4x^2-1} $

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$ 4x^2+4x+1 = (2x+1)^2 $

$ 2x^2-x = x(2x-1) $

$ 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{18}{(2x+1)^2} - \frac{1}{x(2x-1)} = \frac{6}{(2x-1)(2x+1)} $

ОДЗ: $ x \neq -\frac{1}{2} $, $ x \neq 0 $, $ x \neq \frac{1}{2} $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ x(2x-1)(2x+1)^2 $:

$ 18 \cdot x(2x-1) - 1 \cdot (2x+1)^2 = 6 \cdot x(2x+1) $

Раскроем скобки:

$ 18(2x^2 - x) - (4x^2 + 4x + 1) = 6(2x^2 + x) $

$ 36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x $

$ 32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0 $

$ 20x^2 - 28x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6} $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 + 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10} $

$ x_2 = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 - 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}; \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10}$.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{3(4y^2+10y-7)}{16y^2-9} = \frac{3y-7}{3-4y} + \frac{6y+5}{3+4y} $

Преобразуем знаменатели:

$ 16y^2-9 = (4y-3)(4y+3) $

$ 3-4y = -(4y-3) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{3(4y^2+10y-7)}{(4y-3)(4y+3)} = -\frac{3y-7}{4y-3} + \frac{6y+5}{4y+3} $

$ \frac{3(4y^2+10y-7)}{(4y-3)(4y+3)} = \frac{7-3y}{4y-3} + \frac{6y+5}{4y+3} $

ОДЗ: $ 4y-3 \neq 0 \implies y \neq \frac{3}{4} $ и $ 4y+3 \neq 0 \implies y \neq -\frac{3}{4} $.

Приведем правую часть к общему знаменателю $ (4y-3)(4y+3) $:

$ \frac{(7-3y)(4y+3) + (6y+5)(4y-3)}{(4y-3)(4y+3)} $

Так как знаменатели левой и правой частей равны, можем приравнять числители:

$ 3(4y^2+10y-7) = (7-3y)(4y+3) + (6y+5)(4y-3) $

Раскроем скобки в обеих частях:

Левая часть: $ 12y^2 + 30y - 21 $

Правая часть:

$ (28y+21-12y^2-9y) + (24y^2-18y+20y-15) $

$ (-12y^2+19y+21) + (24y^2+2y-15) $

$ 12y^2+21y+6 $

Приравняем левую и правую части:

$ 12y^2 + 30y - 21 = 12y^2 + 21y + 6 $

Сократим $ 12y^2 $:

$ 30y - 21 = 21y + 6 $

$ 30y - 21y = 6 + 21 $

$ 9y = 27 $

$ y = 3 $

Корень $ y=3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$.