Номер 609, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 609, страница 143.

609. Найдите корни уравнения:

а) $\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x};$

б) $\frac{2}{y^2-3y} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3-9y};$

в) $\frac{18}{4x^2+4x+1} - \frac{1}{2x^2-x} = \frac{6}{4x^2-1};$

г) $\frac{3(4y^2+10y-7)}{16y^2-9} = \frac{3y-7}{3-4y} + \frac{6y+5}{3+4y}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x} $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ x \neq -1 $, $ x \neq 2 $ и $ x \neq 0 $.

Приведем правую часть к общему знаменателю $ x(x-2) $:

$ \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x} = \frac{16x - 6(x-2)}{x(x-2)} = \frac{16x - 6x + 12}{x(x-2)} = \frac{10x + 12}{x(x-2)} $

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{21}{x+1} = \frac{10x+12}{x(x-2)} $

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$ 21 \cdot x(x-2) = (10x+12)(x+1) $

Раскроем скобки:

$ 21(x^2 - 2x) = 10x^2 + 10x + 12x + 12 $

$ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 $

$ 11x^2 - 64x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624 = 68^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -\frac{2}{11}$.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{y^2-3y} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3-9y} $

Разложим знаменатели на множители:

$ y^2-3y = y(y-3) $

$ y^3-9y = y(y^2-9) = y(y-3)(y+3) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{2}{y(y-3)} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y(y-3)(y+3)} $

ОДЗ: $ y \neq 0 $, $ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ y(y-3)(y+3) $:

$ 2(y+3) - 1 \cdot y(y+3) = 5 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 2y + 6 - (y^2 + 3y) = 5 $

$ 2y + 6 - y^2 - 3y = 5 $

$ -y^2 - y + 1 = 0 $

$ y^2 + y - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $

Корни уравнения:

$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $

$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{18}{4x^2+4x+1} - \frac{1}{2x^2-x} = \frac{6}{4x^2-1} $

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$ 4x^2+4x+1 = (2x+1)^2 $

$ 2x^2-x = x(2x-1) $

$ 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{18}{(2x+1)^2} - \frac{1}{x(2x-1)} = \frac{6}{(2x-1)(2x+1)} $

ОДЗ: $ x \neq -\frac{1}{2} $, $ x \neq 0 $, $ x \neq \frac{1}{2} $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ x(2x-1)(2x+1)^2 $:

$ 18 \cdot x(2x-1) - 1 \cdot (2x+1)^2 = 6 \cdot x(2x+1) $

Раскроем скобки:

$ 18(2x^2 - x) - (4x^2 + 4x + 1) = 6(2x^2 + x) $

$ 36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x $

$ 32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0 $

$ 20x^2 - 28x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6} $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 + 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10} $

$ x_2 = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 - 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}; \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10}$.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{3(4y^2+10y-7)}{16y^2-9} = \frac{3y-7}{3-4y} + \frac{6y+5}{3+4y} $

Преобразуем знаменатели:

$ 16y^2-9 = (4y-3)(4y+3) $

$ 3-4y = -(4y-3) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{3(4y^2+10y-7)}{(4y-3)(4y+3)} = -\frac{3y-7}{4y-3} + \frac{6y+5}{4y+3} $

$ \frac{3(4y^2+10y-7)}{(4y-3)(4y+3)} = \frac{7-3y}{4y-3} + \frac{6y+5}{4y+3} $

ОДЗ: $ 4y-3 \neq 0 \implies y \neq \frac{3}{4} $ и $ 4y+3 \neq 0 \implies y \neq -\frac{3}{4} $.

Приведем правую часть к общему знаменателю $ (4y-3)(4y+3) $:

$ \frac{(7-3y)(4y+3) + (6y+5)(4y-3)}{(4y-3)(4y+3)} $

Так как знаменатели левой и правой частей равны, можем приравнять числители:

$ 3(4y^2+10y-7) = (7-3y)(4y+3) + (6y+5)(4y-3) $

Раскроем скобки в обеих частях:

Левая часть: $ 12y^2 + 30y - 21 $

Правая часть:

$ (28y+21-12y^2-9y) + (24y^2-18y+20y-15) $

$ (-12y^2+19y+21) + (24y^2+2y-15) $

$ 12y^2+21y+6 $

Приравняем левую и правую части:

$ 12y^2 + 30y - 21 = 12y^2 + 21y + 6 $

Сократим $ 12y^2 $:

$ 30y - 21 = 21y + 6 $

$ 30y - 21y = 6 + 21 $

$ 9y = 27 $

$ y = 3 $

Корень $ y=3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$.