Номер 611, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 611, страница 144.

611. Решите графически уравнение:

a) $ \frac{6}{x} = x; $

б) $ \frac{6}{x} = -x + 6. $

а)

Чтобы решить уравнение $ \frac{6}{x} = x $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = x $.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола. Так как коэффициент $ k=6 > 0 $, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($ y=0 $) и ось ординат ($ x=0 $) являются асимптотами графика. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y$	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

2. График функции $ y = x $ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек.

$x$	-2	2
$y$	-2	2

3. Решениями исходного уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков. На графике видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически:

$ \frac{6}{x} = x $

При $ x \neq 0 $ умножим обе части на $x$:

$ 6 = x^2 $

$ x^2 = 6 $

$ x_1 = \sqrt{6} $, $ x_2 = -\sqrt{6} $.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{6}, x_2 = \sqrt{6}$.

б)

Чтобы решить уравнение $ \frac{6}{x} = -x + 6 $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = -x + 6 $.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола, рассмотренная в пункте а).

2. График функции $ y = -x + 6 $ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек, например, точек пересечения с осями координат:

$x$	0	6
$y$	6	0

3. Решениями исходного уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков гиперболы $ y = \frac{6}{x} $ и прямой $ y = -x + 6 $. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках в первой координатной четверти. Чтобы найти точные значения абсцисс этих точек, решим уравнение:

$ \frac{6}{x} = -x + 6 $

Умножим обе части на $ x $ (при условии, что $ x \neq 0 $):

$ 6 = -x^2 + 6x $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 6x + 6 = 0 $

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $, где $ D = b^2 - 4ac $. В нашем случае $ a=1 $, $ b=-6 $, $ c=6 $. Найдем дискриминант:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 $.

Найдем корни:

$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $.

Таким образом, мы получили два решения: $ x_1 = 3 - \sqrt{3} $ и $ x_2 = 3 + \sqrt{3} $.

Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3}$.