Номер 618, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 618, страница 146.

618. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть скорость второго, более медленного, автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля будет $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое должны проехать оба автомобиля, составляет $S = 120$ км.

Время движения можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, которое затратил на путь второй (медленный) автомобиль, равно $t_2 = \frac{120}{x}$ ч.

Время, которое затратил на путь первый (быстрый) автомобиль, равно $t_1 = \frac{120}{x + 20}$ ч.

Известно, что первый автомобиль прибыл на 1 час раньше второго. Это значит, что время движения второго автомобиля на 1 час больше времени движения первого: $t_2 - t_1 = 1$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1$

Чтобы решить уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $x(x + 20)$:

$\frac{120(x + 20) - 120x}{x(x + 20)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 2400 - 120x}{x^2 + 20x} = 1$

$\frac{2400}{x^2 + 20x} = 1$

Умножим обе части на знаменатель, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -20$ (что верно, так как скорость не может быть нулевой или отрицательной):

$x^2 + 20x = 2400$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 100}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 100}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, скорость второго автомобиля составляет $x = 40$ км/ч.

Найдем скорость первого автомобиля:

$x + 20 = 40 + 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 40 км/ч, а скорость другого — 60 км/ч.