Номер 623, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 623, страница 146.

623. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?

Пусть $x$ — это стоимость одного билета лотереи «Надежда» в рублях.На 240 рублей Андрей купил $\frac{240}{x}$ билетов этой лотереи.

Стоимость билета лотереи «Удача» на 5 рублей дешевле, следовательно, она составляет $(x - 5)$ рублей.Если бы Андрей потратил 240 рублей на билеты «Удача», он бы купил на 4 билета больше, то есть количество билетов составило бы $(\frac{240}{x} + 4)$.

Произведение количества билетов «Удача» на их стоимость равно общей потраченной сумме, то есть 240 рублям. На основе этих данных составим уравнение:

$(\frac{240}{x} + 4)(x - 5) = 240$

Решим это уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

$\frac{240}{x} \cdot x - 5 \cdot \frac{240}{x} + 4 \cdot x - 4 \cdot 5 = 240$

$240 - \frac{1200}{x} + 4x - 20 = 240$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону:

$4x - 20 - \frac{1200}{x} = 240 - 240$

$4x - 20 - \frac{1200}{x} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (цена билета $x$ не может быть равна нулю):

$4x^2 - 20x - 1200 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$x^2 - 5x - 300 = 0$

Получилось квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1225}}{2} = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку цена билета не может быть отрицательной, корень $x_2 = -15$ не является решением задачи. Следовательно, цена билета «Надежда» равна 20 рублям.

Проверка:

Цена билета «Надежда» — 20 р. Количество купленных билетов: $240 / 20 = 12$ шт.

Цена билета «Удача»: $20 - 5 = 15$ р. Количество билетов, которое можно было бы купить: $240 / 15 = 16$ шт.

Разница в количестве билетов: $16 - 12 = 4$ шт. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 20 рублей.