Номер 621, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 621, страница 146.

621. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v$ (км/ч) — это искомая скорость поезда по расписанию. Тогда время, которое поезд должен был затратить на перегон в 720 км, двигаясь по расписанию, равно $t_1 = \frac{720}{v}$ часов.

По условию, поезд увеличил свою скорость на 10 км/ч, чтобы ликвидировать опоздание. Таким образом, его фактическая скорость составила $v + 10$ км/ч. Время, которое поезд затратил на путь с увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{720}{v+10}$ часов.

Увеличение скорости позволило поезду сократить время в пути на 1 час. Это означает, что разница между временем по расписанию и фактическим временем составляет 1 час:

$t_1 - t_2 = 1$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{720}{v} - \frac{720}{v+10} = 1$

Теперь необходимо решить полученное рациональное уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{720(v+10) - 720v}{v(v+10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{720v + 7200 - 720v}{v^2 + 10v} = 1$

$\frac{7200}{v^2 + 10v} = 1$

Это уравнение равносильно следующему (при условии, что $v^2 + 10v \neq 0$):

$v^2 + 10v = 7200$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 10v - 7200 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда по расписанию составляет 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.