Номер 626, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 626, страница 147.

626. Сотрудники отдела решили совместно приобрести холодильник за 7200 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 200 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?

Пусть $x$ — общее количество сотрудников в отделе. Стоимость холодильника составляет 7200 рублей.

Изначально каждый сотрудник должен был заплатить сумму, равную $ \frac{7200}{x} $ рублей.

После того как трое сотрудников отказались участвовать в покупке, количество платящих сократилось до $x - 3$.

В этом случае каждый из оставшихся сотрудников должен был заплатить $ \frac{7200}{x-3} $ рублей.

Из условия задачи известно, что новая сумма на 200 рублей больше первоначальной. На основе этого составим и решим уравнение:

$ \frac{7200}{x-3} - \frac{7200}{x} = 200 $

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 200:

$ \frac{36}{x-3} - \frac{36}{x} = 1 $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-3)$:

$ \frac{36x - 36(x-3)}{x(x-3)} = 1 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{36x - 36x + 108}{x^2 - 3x} = 1 $

$ \frac{108}{x^2 - 3x} = 1 $

Это уравнение равносильно следующему (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$):

$ x^2 - 3x = 108 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 3x - 108 = 0 $

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 $

Найдем корни уравнения:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 21}{2} $

Первый корень:

$ x_1 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 $

Второй корень:

$ x_2 = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $

Поскольку количество сотрудников не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -9$ не является решением задачи. Таким образом, общее количество сотрудников в отделе равно 12.

Проведем проверку. Изначально 12 сотрудников должны были заплатить по $7200 \div 12 = 600$ рублей. После отказа троих, 9 сотрудников заплатили по $7200 \div 9 = 800$ рублей. Разница составляет $800 - 600 = 200$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 12