Номер 633, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 633, страница 147.

633. Два автомата разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый автомат, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму автомату?

Примем весь объем работы по изготовлению деталей за 1. Пусть $t_1$ — время в часах, за которое всю работу выполняет первый автомат, а $t_2$ — время, за которое всю работу выполняет второй автомат. Тогда производительность первого автомата составляет $p_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго — $p_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Согласно условию задачи, первому автомату требуется на 2 часа больше, чем второму. Это дает нам первое уравнение: $t_1 = t_2 + 2$, из которого следует, что $t_2 = t_1 - 2$.

Два автомата вместе выполнили работу за 2 часа 55 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $T_{совм} = 2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 + \frac{55}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{11}{12} \text{ ч} = \frac{24+11}{12} = \frac{35}{12}$ часа.

При совместной работе производительности складываются: $p_{совм} = p_1 + p_2$. Объем работы равен произведению совместной производительности на время совместной работы: $1 = (p_1 + p_2) \cdot T_{совм}$. Подставив выражения для производительностей и времени, получим второе уравнение: $1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot \frac{35}{12}$. Отсюда: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{12}{35}$.

Теперь подставим выражение $t_2 = t_1 - 2$ в это уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 2} = \frac{12}{35}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{(t_1 - 2) + t_1}{t_1(t_1 - 2)} = \frac{12}{35}$ $\frac{2t_1 - 2}{t_1^2 - 2t_1} = \frac{12}{35}$.

Используя свойство пропорции (умножая крест-накрест), получаем: $35(2t_1 - 2) = 12(t_1^2 - 2t_1)$ $70t_1 - 70 = 12t_1^2 - 24t_1$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $12t_1^2 - 24t_1 - 70t_1 + 70 = 0$ $12t_1^2 - 94t_1 + 70 = 0$.

Для упрощения разделим все коэффициенты уравнения на 2: $6t_1^2 - 47t_1 + 35 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-47)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 35 = 2209 - 840 = 1369$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.

Теперь находим возможные значения для $t_1$: $t_{1,1} = \frac{-(-47) + 37}{2 \cdot 6} = \frac{47 + 37}{12} = \frac{84}{12} = 7$. $t_{1,2} = \frac{-(-47) - 37}{2 \cdot 6} = \frac{47 - 37}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Проверим найденные корни. Из условия $t_2 = t_1 - 2$ следует, что время работы второго автомата $t_2$ должно быть положительным, то есть $t_1 - 2 > 0$, откуда $t_1 > 2$. Корень $t_{1,2} = \frac{5}{6}$ не удовлетворяет этому условию, так как $\frac{5}{6} < 2$. Следовательно, это посторонний корень. Корень $t_{1,1} = 7$ удовлетворяет условию $7 > 2$. Если $t_1 = 7$ часов, то $t_2 = 7 - 2 = 5$ часов, что является физически осмысленным значением. Таким образом, искомое время для первого автомата — 7 часов.

Ответ: первый автомат мог бы изготовить это количество деталей за 7 часов.