Номер 638, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 638, страница 148.

638. Найдите значение q, при котором разность корней уравнения $x^2 - 10x + q = 0$ равна 6.

Рассмотрим заданное квадратное уравнение $x^2 - 10x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для данного приведенного квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$.
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

По условию задачи, разность корней равна 6. Это можно записать как $|x_1 - x_2| = 6$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$(x_1 - x_2)^2 = 6^2 = 36$.

Существует тождество, которое связывает квадрат разности корней с их суммой и произведением: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения из теоремы Виета и условия задачи:
$36 = (10)^2 - 4 \cdot q$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$36 = 100 - 4q$
$4q = 100 - 36$
$4q = 64$
$q = \frac{64}{4}$
$q = 16$

Для проверки найдем корни уравнения при $q = 16$. Уравнение принимает вид $x^2 - 10x + 16 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$
Разность корней $x_1 - x_2 = 8 - 2 = 6$, что соответствует условию.

Ответ: 16.