Номер 641, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 641, страница 150.

641. Решите относительно y уравнение:

a) $py - p - 1 = 0;$

б) $py - 3y - 4p + 12 = 0.$

а) $py - p - 1 = 0$

Это линейное уравнение относительно переменной $y$ с параметром $p$. Для его решения необходимо выразить $y$ через $p$.

Сначала перенесем все слагаемые, не содержащие $y$, в правую часть уравнения:

$py = p + 1$

Далее решение зависит от значения коэффициента при $y$, то есть от параметра $p$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ не равен нулю: $p \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $p$, чтобы найти $y$:

$y = \frac{p + 1}{p}$

Выражение можно также записать в виде $y = 1 + \frac{1}{p}$.

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ равен нулю: $p = 0$.

Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, имеет ли оно решение:

$0 \cdot y - 0 - 1 = 0$

$-1 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $p = 0$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $p = 0$, то корней нет; если $p \neq 0$, то $y = \frac{p + 1}{p}$.

б) $py - 3y - 4p + 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левой части уравнения, а остальные перенесем в правую:

$py - 3y = 4p - 12$

В левой части вынесем $y$ за скобки, а в правой части вынесем общий множитель 4:

$y(p - 3) = 4(p - 3)$

Решение этого уравнения зависит от значения выражения в скобках, $(p - 3)$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ не равен нулю: $p - 3 \neq 0$, то есть $p \neq 3$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(p - 3)$:

$y = \frac{4(p - 3)}{p - 3}$

Сократив дробь, получаем:

$y = 4$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ равен нулю: $p - 3 = 0$, то есть $p = 3$.

Подставим это значение в преобразованное уравнение $y(p - 3) = 4(p - 3)$:

$y(3 - 3) = 4(3 - 3)$

$y \cdot 0 = 4 \cdot 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое справедливо для любого значения $y$. Это означает, что при $p=3$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $p = 3$, то $y$ - любое число; если $p \neq 3$, то $y = 4$.