Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

640. Какие случаи надо выделить при решении уравнения $bx + 2x = 3b + 6$ с параметром $b$? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев.

Для решения уравнения $bx + 2x = 3b + 6$ с параметром $b$ необходимо привести его к стандартному виду линейного уравнения $Ax = B$.

Сначала преобразуем левую часть, вынеся $x$ за скобки:

$(b + 2)x = 3b + 6$

Теперь преобразуем правую часть, вынеся за скобки общий множитель 3:

$(b + 2)x = 3(b + 2)$

Решение данного уравнения зависит от коэффициента при переменной $x$, то есть от выражения $(b + 2)$. Таким образом, при решении нужно выделить два основных случая: когда этот коэффициент не равен нулю и когда он равен нулю.

Случай 1: $b + 2 \neq 0$

Этот случай рассматривается при $b \neq -2$. Так как коэффициент при $x$ отличен от нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $(b + 2)$:

$x = \frac{3(b + 2)}{b + 2}$

После сокращения дроби получаем, что уравнение имеет единственный корень:

$x = 3$

Ответ: при $b \neq -2$ корень уравнения $x = 3$.

Случай 2: $b + 2 = 0$

Этот случай рассматривается при $b = -2$. Подставим это значение параметра в уравнение $(b + 2)x = 3(b + 2)$:

$(-2 + 2)x = 3(-2 + 2)$

$0 \cdot x = 3 \cdot 0$

$0 = 0$

Получилось верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что решением уравнения является любое число.

Ответ: при $b = -2$ корнем уравнения является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

641. Решите относительно y уравнение:

a) $py - p - 1 = 0;$

б) $py - 3y - 4p + 12 = 0.$

а) $py - p - 1 = 0$

Это линейное уравнение относительно переменной $y$ с параметром $p$. Для его решения необходимо выразить $y$ через $p$.

Сначала перенесем все слагаемые, не содержащие $y$, в правую часть уравнения:

$py = p + 1$

Далее решение зависит от значения коэффициента при $y$, то есть от параметра $p$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ не равен нулю: $p \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $p$, чтобы найти $y$:

$y = \frac{p + 1}{p}$

Выражение можно также записать в виде $y = 1 + \frac{1}{p}$.

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ равен нулю: $p = 0$.

Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, имеет ли оно решение:

$0 \cdot y - 0 - 1 = 0$

$-1 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $p = 0$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $p = 0$, то корней нет; если $p \neq 0$, то $y = \frac{p + 1}{p}$.

б) $py - 3y - 4p + 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левой части уравнения, а остальные перенесем в правую:

$py - 3y = 4p - 12$

В левой части вынесем $y$ за скобки, а в правой части вынесем общий множитель 4:

$y(p - 3) = 4(p - 3)$

Решение этого уравнения зависит от значения выражения в скобках, $(p - 3)$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ не равен нулю: $p - 3 \neq 0$, то есть $p \neq 3$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(p - 3)$:

$y = \frac{4(p - 3)}{p - 3}$

Сократив дробь, получаем:

$y = 4$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $y$ равен нулю: $p - 3 = 0$, то есть $p = 3$.

Подставим это значение в преобразованное уравнение $y(p - 3) = 4(p - 3)$:

$y(3 - 3) = 4(3 - 3)$

$y \cdot 0 = 4 \cdot 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое справедливо для любого значения $y$. Это означает, что при $p=3$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $p = 3$, то $y$ - любое число; если $p \neq 3$, то $y = 4$.

642. Решите уравнение с параметром a:

$ax - 2x = a^3 - 2a^2 - 9a + 18.$

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Для его решения преобразуем обе части.

В левой части уравнения вынесем переменную $x$ за скобки:

$ax - 2x = x(a - 2)$

Правую часть уравнения разложим на множители методом группировки:

$a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = (a^3 - 2a^2) - (9a - 18) = a^2(a - 2) - 9(a - 2)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a - 2)$:

$(a - 2)(a^2 - 9)$

Выражение в скобках $a^2 - 9$ является разностью квадратов, которую также можно разложить на множители:

$(a - 2)(a - 3)(a + 3)$

После преобразований исходное уравнение принимает вид:

$x(a - 2) = (a - 2)(a - 3)(a + 3)$

Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a - 2)$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a - 2 = 0$, откуда $a = 2$. Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$x(2 - 2) = (2 - 2)(2 - 3)(2 + 3)$

$x \cdot 0 = 0 \cdot (-1) \cdot 5$

$0 = 0$

Получено верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Это означает, что при $a=2$ решением уравнения является любое действительное число.

2. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a - 2 \ne 0$, откуда $a \ne 2$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 2)$:

$x = \frac{(a - 2)(a - 3)(a + 3)}{a - 2}$

После сокращения дроби получаем:

$x = (a - 3)(a + 3)$

$x = a^2 - 9$

Следовательно, при $a \ne 2$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ:
если $a = 2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in R$);
если $a \ne 2$, то $x = a^2 - 9$.

643. Решите уравнение с параметром b:

$2x^2 - 4x + b = 0.$

Данное уравнение $2x^2 - 4x + b = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $x$. Количество и вид его корней зависят от значения параметра $b$. Для анализа решим его как стандартное квадратное уравнение $ax^2 + kx + c = 0$, где коэффициенты равны $a=2$, $k=-4$ и $c=b$.

Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Вычислим дискриминант по формуле $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 16 - 8b$.

Далее рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака дискриминанта.

1. Если дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем, при каких значениях $b$ это условие выполняется:

$16 - 8b > 0$

$16 > 8b$

$b < 2$

При $b < 2$ корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 8b}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4}$.

Упростим это выражение: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 - 2b)}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{4 - 2b}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$.

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Найдем соответствующее значение $b$:

$16 - 8b = 0$

$8b = 16$

$b = 2$

При $b = 2$ корень уравнения равен $x = \frac{-k}{2a}$:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

3. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Найдем, при каких значениях $b$ это происходит:

$16 - 8b < 0$

$16 < 8b$

$b > 2$

Таким образом, при $b > 2$ у уравнения нет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: если $b < 2$, то уравнение имеет два корня $x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$; если $b = 2$, то уравнение имеет один корень $x = 1$; если $b > 2$, то уравнение не имеет действительных корней.