Страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

653. Используя выделение квадрата двучлена:

а) докажите, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11;

б) найдите наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$.

а) Чтобы доказать утверждение, преобразуем данное выражение $x^2 - 8x + 27$, выделив в нем полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

В нашем выражении $x^2 - 8x$ можно рассматривать как первые два слагаемых этой формулы, где $m = x$, а $-2mn = -8x$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot n = -8x$, что означает $n = 4$.

Для получения полного квадрата $(x-4)^2$ нам необходимо слагаемое $n^2 = 4^2 = 16$. Представим исходное выражение, добавив и одновременно вычтя 16, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 8x + 27 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 27$

Теперь сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых образуют полный квадрат, а оставшиеся числа складываем:

$(x^2 - 8x + 16) + (27 - 16) = (x-4)^2 + 11$

Мы преобразовали выражение к виду $(x-4)^2 + 11$. Проанализируем его, чтобы найти наименьшее значение.

Слагаемое $(x-4)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-4)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x-4)^2$, равно 0. Это значение достигается, когда основание степени равно нулю: $x-4=0$, то есть при $x=4$.

Соответственно, наименьшее значение всего выражения $(x-4)^2 + 11$ будет достигаться при наименьшем значении $(x-4)^2$ и будет равно $0 + 11 = 11$.

Таким образом, доказано, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11.

Ответ: 11.

б) Чтобы найти наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$, применим тот же метод выделения полного квадрата.

В выражении $a^2 - 4a$ член $-4a$ можно представить как удвоенное произведение $-2 \cdot a \cdot 2$. Отсюда следует, что для получения полного квадрата $(a-2)^2$ нам необходимо добавить слагаемое $2^2 = 4$.

Преобразуем исходное выражение, добавив и вычтя 4:

$a^2 - 4a + 20 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 20$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 4a + 4) + (20 - 4) = (a-2)^2 + 16$

Полученное выражение состоит из двух слагаемых: $(a-2)^2$ и 16.

Слагаемое $(a-2)^2$ является квадратом, поэтому его значение всегда больше или равно нулю: $(a-2)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение слагаемого $(a-2)^2$ равно 0 и достигается при $a-2=0$, то есть при $a=2$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(a-2)^2 + 16$ равно сумме наименьшего значения первого слагаемого и второго слагаемого: $0 + 16 = 16$.

Ответ: 16.

654. Решите уравнение:

а) $4x^2 + 7x + 3 = 0;$

б) $x^2 + x - 56 = 0;$

в) $x^2 - x - 56 = 0;$

г) $5x^2 - 18x + 16 = 0;$

д) $8x^2 + x - 75 = 0;$

е) $3x^2 - 11x - 14 = 0;$

ж) $3x^2 + 11x - 34 = 0;$

з) $x^2 - x - 1 = 0.$

а) $4x^2 + 7x + 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=7$, $c=3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

Ответ: $-1; -\frac{3}{4}$.

б) $x^2 + x - 56 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Его можно решить с помощью теоремы Виета.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -56$.
Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -8$.
Проверка: $7 + (-8) = -1$; $7 \cdot (-8) = -56$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 15}{2}$.
$x_1 = \frac{-1 + 15}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-1 - 15}{2} = -8$.

Ответ: $-8; 7$.

в) $x^2 - x - 56 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Решим по теореме Виета.
Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -56$.
Подбором находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.
Проверка: $8 + (-7) = 1$; $8 \cdot (-7) = -56$.
Решение через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm 15}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + 15}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{1 - 15}{2} = -7$.

Ответ: $-7; 8$.

г) $5x^2 - 18x + 16 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=5$, $b=-18$, $c=16$.
Найдем дискриминант: $D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4$.
$x_{1,2} = \frac{-(-18) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 \pm 2}{10}$.
$x_1 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}; 2$.

д) $8x^2 + x - 75 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=8$, $b=1$, $c=-75$.
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-75) = 1 + 2400 = 2401 = 49^2$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 \pm 49}{16}$.
$x_1 = \frac{-1 + 49}{16} = \frac{48}{16} = 3$.
$x_2 = \frac{-1 - 49}{16} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8}$.

Ответ: $-\frac{25}{8}; 3$.

е) $3x^2 - 11x - 14 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3$, $b=-11$, $c=-14$.
Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 17}{6}$.
$x_1 = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.
$x_2 = \frac{11 - 17}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $-1; \frac{14}{3}$.

ж) $3x^2 + 11x - 34 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3$, $b=11$, $c=-34$.
Найдем дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 121 + 408 = 529 = 23^2$.
$x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm 23}{6}$.
$x_1 = \frac{-11 + 23}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-11 - 23}{6} = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3}$.

Ответ: $-\frac{17}{3}; 2$.

з) $x^2 - x - 1 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-1$, $c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Дискриминант не является точным квадратом, поэтому корни будут иррациональными.
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

655. При каких значениях $x$ верно равенство:

а) $(5x + 3)^2 = 5(x + 3);$

б) $(3x + 10)^2 = 3(x + 10);$

в) $(3x - 8)^2 = 3x^2 - 8x;$;

г) $(4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x;$

д) $(5x + 3)^2 = 5x + 3;$;

е) $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2;$

ж) $(4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2;$

з) $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2?$

а)

Решим уравнение $(5x + 3)^2 = 5(x + 3)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях равенства. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой части — распределительный закон.

$(5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 5 \cdot x + 5 \cdot 3$

$25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$25x^2 + 30x - 5x + 9 - 15 = 0$

$25x^2 + 25x - 6 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

$x_1 = \frac{-25 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2$

$x_2 = \frac{-25 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5} = -1.2$

Ответ: $x = -1.2$ или $x = 0.2$.

б)

Решим уравнение $(3x + 10)^2 = 3(x + 10)$.

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 10 + 10^2 = 3x + 30$

$9x^2 + 60x + 100 = 3x + 30$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9x^2 + 60x - 3x + 100 - 30 = 0$

$9x^2 + 57x + 70 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 57^2 - 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 - 2520 = 729$

Найдем корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$:

$x_1 = \frac{-57 + 27}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-57 - 27}{2 \cdot 9} = \frac{-84}{18} = -\frac{14}{3}$

Ответ: $x = -\frac{14}{3}$ или $x = -\frac{5}{3}$.

в)

Решим уравнение $(3x - 8)^2 = 3x^2 - 8x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 3x^2 - 8x$

$9x^2 - 48x + 64 = 3x^2 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 3x^2 - 48x + 8x + 64 = 0$

$6x^2 - 40x + 64 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$3x^2 - 20x + 32 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 - 384 = 16$

Найдем корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$:

$x_1 = \frac{-(-20) + 4}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 4}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-(-20) - 4}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 4}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Ответ: $x = \frac{8}{3}$ или $x = 4$.

г)

Решим уравнение $(4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x$.

Раскроем скобки в левой части:

$(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 5x^2 + 4x$

$16x^2 + 40x + 25 = 5x^2 + 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$16x^2 - 5x^2 + 40x - 4x + 25 = 0$

$11x^2 + 36x + 25 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 - 1100 = 196$

Найдем корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$:

$x_1 = \frac{-36 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1$

$x_2 = \frac{-36 - 14}{2 \cdot 11} = \frac{-50}{22} = -\frac{25}{11}$

Ответ: $x = -\frac{25}{11}$ или $x = -1$.

д)

Решим уравнение $(5x + 3)^2 = 5x + 3$.

Это уравнение вида $A^2 = A$. Перенесем все в левую часть:

$(5x + 3)^2 - (5x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x + 3)$ за скобки:

$(5x + 3)((5x + 3) - 1) = 0$

$(5x + 3)(5x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Либо $5x + 3 = 0$, откуда $5x = -3$, и $x = -\frac{3}{5}$.

Либо $5x + 2 = 0$, откуда $5x = -2$, и $x = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $x = -\frac{3}{5}$ или $x = -\frac{2}{5}$.

е)

Решим уравнение $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2$.

Это уравнение вида $A^2 = B^2$. Оно равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим первый случай: $A = B$.

$5x + 3 = 3x + 5$

$5x - 3x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Рассмотрим второй случай: $A = -B$.

$5x + 3 = -(3x + 5)$

$5x + 3 = -3x - 5$

$5x + 3x = -5 - 3$

$8x = -8$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$ или $x = 1$.

ж)

Решим уравнение $(4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$.

Это уравнение вида $A^2 = 4B^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $A = \pm \sqrt{4B^2}$, то есть $A = \pm 2B$.

Рассмотрим первый случай: $A = 2B$.

$4x + 5 = 2(x + 5)$

$4x + 5 = 2x + 10$

$4x - 2x = 10 - 5$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Рассмотрим второй случай: $A = -2B$.

$4x + 5 = -2(x + 5)$

$4x + 5 = -2x - 10$

$4x + 2x = -10 - 5$

$6x = -15$

$x = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x = -2.5$ или $x = 2.5$.

з)

Решим уравнение $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2$.

Преобразуем левую часть уравнения. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$(2(x + 5))^2 = 4(x + 5)^2$

Возведем в квадрат множитель 2:

$2^2(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

$4(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любых значениях переменной $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

656. Решите уравнение и выполните проверку:

а) $x^2 - 2x - 5 = 0;$

б) $x^2 + 4x + 1 = 0;$

в) $3y^2 - 4y - 2 = 0;$

г) $5y^2 - 7y + 1 = 0;$

д) $2y^2 + 11y + 10 = 0;$

е) $4x^2 - 9x - 2 = 0.$

а) $x^2 - 2x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью формулы корней через дискриминант.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -5$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{6}$.

Проверка:

Для $x_1 = 1 + \sqrt{6}$:

$(1 + \sqrt{6})^2 - 2(1 + \sqrt{6}) - 5 = (1^2 + 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = (1 + 2\sqrt{6} + 6) - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 7 + 2\sqrt{6} - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 0$. Верно.

Для $x_2 = 1 - \sqrt{6}$:

$(1 - \sqrt{6})^2 - 2(1 - \sqrt{6}) - 5 = (1^2 - 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = (1 - 2\sqrt{6} + 6) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 2\sqrt{6} - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 0$. Верно.

Ответ: $1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6}$.

б) $x^2 + 4x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = 1$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Получаем два корня: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Проверка:

Для $x_1 = -2 + \sqrt{3}$:

$(-2 + \sqrt{3})^2 + 4(-2 + \sqrt{3}) + 1 = (4 - 4\sqrt{3} + 3) + (-8 + 4\sqrt{3}) + 1 = 7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$. Верно.

Для $x_2 = -2 - \sqrt{3}$:

$(-2 - \sqrt{3})^2 + 4(-2 - \sqrt{3}) + 1 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + (-8 - 4\sqrt{3}) + 1 = 7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$. Верно.

Ответ: $-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3}$.

в) $3y^2 - 4y - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -4$, $c = -2$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40$.

Находим корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$.

Получаем два корня: $y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$ и $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$.

Проверка:

Для $y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$:

$3\left(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}\right) - 2 = 3\frac{4 + 4\sqrt{10} + 10}{9} - \frac{8 + 4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14 + 4\sqrt{10}}{3} - \frac{8 + 4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14 + 4\sqrt{10} - 8 - 4\sqrt{10} - 6}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Верно.

Для $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$:

$3\left(\frac{2 - \sqrt{10}}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2 - \sqrt{10}}{3}\right) - 2 = 3\frac{4 - 4\sqrt{10} + 10}{9} - \frac{8 - 4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14 - 4\sqrt{10}}{3} - \frac{8 - 4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14 - 4\sqrt{10} - 8 + 4\sqrt{10} - 6}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{10}}{3}; \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$.

г) $5y^2 - 7y + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 5$, $b = -7$, $c = 1$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 - 20 = 29$.

Находим корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}$.

Получаем два корня: $y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$ и $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$.

Проверка:

Для $y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$:

$5\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}\right)^2 - 7\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}\right) + 1 = 5\frac{49 + 14\sqrt{29} + 29}{100} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78 + 14\sqrt{29}}{20} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{39 + 7\sqrt{29}}{10} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + \frac{10}{10} = \frac{39+7\sqrt{29}-49-7\sqrt{29}+10}{10} = 0$. Верно.

Для $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$:

$5\left(\frac{7 - \sqrt{29}}{10}\right)^2 - 7\left(\frac{7 - \sqrt{29}}{10}\right) + 1 = 5\frac{49 - 14\sqrt{29} + 29}{100} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78 - 14\sqrt{29}}{20} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{39 - 7\sqrt{29}}{10} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + \frac{10}{10} = \frac{39-7\sqrt{29}-49+7\sqrt{29}+10}{10} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{29}}{10}; \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$.

д) $2y^2 + 11y + 10 = 0$

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 11$, $c = 10$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 - 80 = 41$.

Находим корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Получаем два корня: $y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$ и $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$.

Проверка:

Для $y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$:

$2\left(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}\right) + 10 = 2\frac{121 - 22\sqrt{41} + 41}{16} + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{162 - 22\sqrt{41}}{8} + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{81 - 11\sqrt{41}}{4} + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + \frac{40}{4} = \frac{81-11\sqrt{41}-121+11\sqrt{41}+40}{4} = 0$. Верно.

Для $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$:

$2\left(\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}\right) + 10 = 2\frac{121 + 22\sqrt{41} + 41}{16} + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{162 + 22\sqrt{41}}{8} + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{81 + 11\sqrt{41}}{4} + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + \frac{40}{4} = \frac{81+11\sqrt{41}-121-11\sqrt{41}+40}{4} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}; \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$.

е) $4x^2 - 9x - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -9$, $c = -2$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$.

Проверка:

Для $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$:

$4\left(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}\right)^2 - 9\left(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}\right) - 2 = 4\frac{81 + 18\sqrt{113} + 113}{64} - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{194 + 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{97 + 9\sqrt{113}}{8} - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - \frac{16}{8} = \frac{97+9\sqrt{113}-81-9\sqrt{113}-16}{8} = 0$. Верно.

Для $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$:

$4\left(\frac{9 - \sqrt{113}}{8}\right)^2 - 9\left(\frac{9 - \sqrt{113}}{8}\right) - 2 = 4\frac{81 - 18\sqrt{113} + 113}{64} - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{194 - 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{97 - 9\sqrt{113}}{8} - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - \frac{16}{8} = \frac{97-9\sqrt{113}-81+9\sqrt{113}-16}{8} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{9 - \sqrt{113}}{8}; \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$.

657. Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

а) $x^2 - 2x - 2 = 0;$

б) $x^2 + 5x + 3 = 0;$

в) $3x^2 - 7x + 3 = 0;$

г) $5x^2 + 31x + 20 = 0.$

а)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=-2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{3} \approx 1,732$.
$x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1,732 = 2,732 \approx 2,73$.
$x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1,732 = -0,732 \approx -0,73$.
Ответ: $x_1 \approx 2,73$; $x_2 \approx -0,73$.

б)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=5$, $c=3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{13} \approx 3,606$.
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 + 3,606}{2} = \frac{-1,394}{2} = -0,697 \approx -0,70$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 - 3,606}{2} = \frac{-8,606}{2} = -4,303 \approx -4,30$.
Ответ: $x_1 \approx -0,70$; $x_2 \approx -4,30$.

в)

Решим квадратное уравнение $3x^2 - 7x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-7$, $c=3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{13} \approx 3,606$.
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 + 3,606}{6} = \frac{10,606}{6} \approx 1,7676... \approx 1,77$.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 - 3,606}{6} = \frac{3,394}{6} \approx 0,5656... \approx 0,57$.
Ответ: $x_1 \approx 1,77$; $x_2 \approx 0,57$.

г)

Решим квадратное уравнение $5x^2 + 31x + 20 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=31$, $c=20$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 961 - 400 = 561$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{2 \cdot 5} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{10}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{561} \approx 23,685$.
$x_1 = \frac{-31 + \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 + 23,685}{10} = \frac{-7,315}{10} = -0,7315 \approx -0,73$.
$x_2 = \frac{-31 - \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 - 23,685}{10} = \frac{-54,685}{10} = -5,4685 \approx -5,47$.
Ответ: $x_1 \approx -0,73$; $x_2 \approx -5,47$.

658. Выясните, при каких значениях переменной:

а) трёхчлен $a^2 + 7a + 6$ и двучлен $a + 1$ принимают равные значения;

б) трёхчлены $3x^2 - x + 1$ и $2x^2 + 5x - 4$ принимают равные значения.

Найдите эти значения.

а)

Чтобы выяснить, при каких значениях переменной $a$ трёхчлен $a^2 + 7a + 6$ и двучлен $a + 1$ принимают равные значения, необходимо приравнять их и решить полученное уравнение:

$a^2 + 7a + 6 = a + 1$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные члены:

$a^2 + 7a - a + 6 - 1 = 0$

$a^2 + 6a + 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Теперь найдём корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, выражения принимают равные значения при $a = -1$ и $a = -5$.

Далее найдём эти значения, подставив найденные корни в одно из исходных выражений (проще всего в $a + 1$).

Если $a = -1$, то значение выражения равно $-1 + 1 = 0$.

Если $a = -5$, то значение выражения равно $-5 + 1 = -4$.

Ответ: при $a = -1$ значение выражений равно $0$; при $a = -5$ значение выражений равно $-4$.

б)

Чтобы выяснить, при каких значениях переменной $x$ трёхчлены $3x^2 - x + 1$ и $2x^2 + 5x - 4$ принимают равные значения, приравняем их и решим уравнение:

$3x^2 - x + 1 = 2x^2 + 5x - 4$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные члены:

$3x^2 - 2x^2 - x - 5x + 1 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Для проверки решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, выражения равны при $x = 1$ и $x = 5$.

Теперь найдём эти равные значения. Подставим $x = 1$ в первое выражение:

$3(1)^2 - 1 + 1 = 3 - 1 + 1 = 3$.

Подставим $x = 5$ в первое выражение:

$3(5)^2 - 5 + 1 = 3 \cdot 25 - 5 + 1 = 75 - 4 = 71$.

Ответ: при $x = 1$ значение выражений равно $3$; при $x = 5$ значение выражений равно $71$.

659. При каком значении $a$ один из корней уравнения $ax^2 - 3x - 5 = 0$ равен 1? Найдите, чему равен при этом значении $a$ второй корень.

При каком значении $a$ один из корней уравнения $ax^2 - 3x - 5 = 0$ равен 1?

По условию, один из корней уравнения $x_1 = 1$. Это означает, что если подставить значение $x=1$ в уравнение, то оно обратится в верное числовое равенство.

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$a \cdot (1)^2 - 3 \cdot 1 - 5 = 0$

Выполним вычисления:

$a \cdot 1 - 3 - 5 = 0$

$a - 8 = 0$

Отсюда находим значение параметра $a$:

$a = 8$

Ответ: $a = 8$.

Найдите, чему равен при этом значении $a$ второй корень.

Теперь, когда мы определили значение $a$, мы можем записать уравнение в окончательном виде. Подставим $a=8$ в исходное уравнение:

$8x^2 - 3x - 5 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Для нахождения второго корня ($x_2$) можно воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты равны $A=8$, $B=-3$, $C=-5$. Один из корней известен: $x_1=1$.

Проще всего использовать формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

$1 \cdot x_2 = \frac{-5}{8}$

$x_2 = -\frac{5}{8}$

Для проверки можно также использовать формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$

$1 + (-\frac{5}{8}) = -(\frac{-3}{8})$

$\frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

$\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

Равенство выполняется, следовательно, второй корень найден верно.

Ответ: второй корень равен $-\frac{5}{8}$.

660. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.

Обозначим искомые пять последовательных целых чисел через переменную. Чтобы упростить вычисления, удобно обозначить среднее (третье) число как $n$. Тогда вся последовательность будет выглядеть так: $n-2, n-1, n, n+1, n+2$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних. Запишем это в виде уравнения:

$(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2 + (n+2)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулы сокращённого умножения $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 = (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$(n^2 + n^2 + n^2) + (-4n - 2n) + (4 + 1) = (n^2 + n^2) + (2n + 4n) + (1 + 4)$

$3n^2 - 6n + 5 = 2n^2 + 6n + 5$

Для решения уравнения перенесём все его члены в одну сторону (в левую):

$3n^2 - 6n + 5 - 2n^2 - 6n - 5 = 0$

Снова приведём подобные слагаемые:

$(3n^2 - 2n^2) + (-6n - 6n) + (5 - 5) = 0$

$n^2 - 12n = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $n$ за скобку:

$n(n - 12) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это даёт нам два возможных решения для $n$:

$n_1 = 0$

или

$n_2 - 12 = 0 \Rightarrow n_2 = 12$

Теперь найдём соответствующие последовательности чисел для каждого найденного значения $n$.

Случай 1: $n = 0$.

Подставляем это значение в нашу последовательность $n-2, n-1, n, n+1, n+2$:

$0-2, 0-1, 0, 0+1, 0+2$

Получаем первую последовательность чисел: $-2, -1, 0, 1, 2$.

Проверка: $(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$. Сумма квадратов последних двух: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5=5$ выполняется.

Случай 2: $n = 12$.

Подставляем это значение в нашу последовательность $n-2, n-1, n, n+1, n+2$:

$12-2, 12-1, 12, 12+1, 12+2$

Получаем вторую последовательность чисел: $10, 11, 12, 13, 14$.

Проверка: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$. Сумма квадратов последних двух: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$. Равенство $365=365$ выполняется.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две группы чисел.

Ответ: $-2, -1, 0, 1, 2$ или $10, 11, 12, 13, 14$.

661. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

Обозначим первое из трёх последовательных чётных чисел через $x$. Поскольку числа являются последовательными чётными, то второе число будет $x + 2$, а третье — $x + 4$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 8x + 16$

Соберём все слагаемые в левой части уравнения и приведём подобные члены:

$2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16$

$2x^2 - x^2 + 4x - 8x + 4 - 16 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Получилось приведённое квадратное уравнение. Найдём его корни, например, через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы получили два возможных значения для первого числа, следовательно, условию задачи удовлетворяют две тройки чисел.

Случай 1: Первое число $x = 6$.
Тогда второе число равно $6 + 2 = 8$, а третье число равно $6 + 4 = 10$. Искомая тройка чисел: 6, 8, 10.
Проверим: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Равенство $100=100$ выполняется.

Случай 2: Первое число $x = -2$.
Тогда второе число равно $-2 + 2 = 0$, а третье число равно $-2 + 4 = 2$. Искомая тройка чисел: -2, 0, 2.
Проверим: $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$, и $2^2 = 4$. Равенство $4=4$ выполняется.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

662. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно $n$. Так как числа являются последовательными, то второе натуральное число будет $n + 1$.

Согласно условию задачи, квадрат суммы этих двух чисел больше суммы их квадратов на 112. Запишем это утверждение в виде математического уравнения.

Сумма двух чисел: $n + (n + 1) = 2n + 1$.
Квадрат суммы этих чисел: $(2n + 1)^2$.

Сумма квадратов этих чисел: $n^2 + (n + 1)^2$.

Составим уравнение, исходя из того, что квадрат суммы на 112 больше суммы квадратов: $(2n + 1)^2 = n^2 + (n + 1)^2 + 112$.

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Левая часть уравнения: $(2n + 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$.

Правая часть уравнения: $n^2 + (n^2 + 2n + 1) + 112 = 2n^2 + 2n + 113$.

Приравняем полученные выражения: $4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 113$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 113 = 0$.

Приведем подобные члены: $2n^2 + 2n - 112 = 0$.

Для удобства разделим все уравнение на 2: $n^2 + n - 56 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $n_1 + n_2 = -1$, а их произведение $n_1 \cdot n_2 = -56$. Подбором находим корни: $n_1 = 7$ и $n_2 = -8$.

В условии сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Корень $n_2 = -8$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит в качестве решения. Корень $n_1 = 7$ является натуральным числом.

Таким образом, первое число равно 7. Второе последовательное число равно $n + 1 = 7 + 1 = 8$.

Выполним проверку:

• Сумма чисел: $7 + 8 = 15$.
• Квадрат суммы: $15^2 = 225$.
• Сумма квадратов: $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.
• Разность между квадратом суммы и суммой квадратов: $225 - 113 = 112$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 7 и 8.