Номер 662, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 662, страница 152.

662. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно $n$. Так как числа являются последовательными, то второе натуральное число будет $n + 1$.

Согласно условию задачи, квадрат суммы этих двух чисел больше суммы их квадратов на 112. Запишем это утверждение в виде математического уравнения.

Сумма двух чисел: $n + (n + 1) = 2n + 1$.
Квадрат суммы этих чисел: $(2n + 1)^2$.

Сумма квадратов этих чисел: $n^2 + (n + 1)^2$.

Составим уравнение, исходя из того, что квадрат суммы на 112 больше суммы квадратов: $(2n + 1)^2 = n^2 + (n + 1)^2 + 112$.

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Левая часть уравнения: $(2n + 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$.

Правая часть уравнения: $n^2 + (n^2 + 2n + 1) + 112 = 2n^2 + 2n + 113$.

Приравняем полученные выражения: $4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 113$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 113 = 0$.

Приведем подобные члены: $2n^2 + 2n - 112 = 0$.

Для удобства разделим все уравнение на 2: $n^2 + n - 56 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $n_1 + n_2 = -1$, а их произведение $n_1 \cdot n_2 = -56$. Подбором находим корни: $n_1 = 7$ и $n_2 = -8$.

В условии сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Корень $n_2 = -8$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит в качестве решения. Корень $n_1 = 7$ является натуральным числом.

Таким образом, первое число равно 7. Второе последовательное число равно $n + 1 = 7 + 1 = 8$.

Выполним проверку:

• Сумма чисел: $7 + 8 = 15$.
• Квадрат суммы: $15^2 = 225$.
• Сумма квадратов: $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.
• Разность между квадратом суммы и суммой квадратов: $225 - 113 = 112$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 7 и 8.