Номер 660, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 660, страница 152.

660. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.

Обозначим искомые пять последовательных целых чисел через переменную. Чтобы упростить вычисления, удобно обозначить среднее (третье) число как $n$. Тогда вся последовательность будет выглядеть так: $n-2, n-1, n, n+1, n+2$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних. Запишем это в виде уравнения:

$(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2 + (n+2)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулы сокращённого умножения $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 = (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$(n^2 + n^2 + n^2) + (-4n - 2n) + (4 + 1) = (n^2 + n^2) + (2n + 4n) + (1 + 4)$

$3n^2 - 6n + 5 = 2n^2 + 6n + 5$

Для решения уравнения перенесём все его члены в одну сторону (в левую):

$3n^2 - 6n + 5 - 2n^2 - 6n - 5 = 0$

Снова приведём подобные слагаемые:

$(3n^2 - 2n^2) + (-6n - 6n) + (5 - 5) = 0$

$n^2 - 12n = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $n$ за скобку:

$n(n - 12) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это даёт нам два возможных решения для $n$:

$n_1 = 0$

или

$n_2 - 12 = 0 \Rightarrow n_2 = 12$

Теперь найдём соответствующие последовательности чисел для каждого найденного значения $n$.

Случай 1: $n = 0$.

Подставляем это значение в нашу последовательность $n-2, n-1, n, n+1, n+2$:

$0-2, 0-1, 0, 0+1, 0+2$

Получаем первую последовательность чисел: $-2, -1, 0, 1, 2$.

Проверка: $(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$. Сумма квадратов последних двух: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5=5$ выполняется.

Случай 2: $n = 12$.

Подставляем это значение в нашу последовательность $n-2, n-1, n, n+1, n+2$:

$12-2, 12-1, 12, 12+1, 12+2$

Получаем вторую последовательность чисел: $10, 11, 12, 13, 14$.

Проверка: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$. Сумма квадратов последних двух: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$. Равенство $365=365$ выполняется.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две группы чисел.

Ответ: $-2, -1, 0, 1, 2$ или $10, 11, 12, 13, 14$.