Номер 653, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 653, страница 152.

653. Используя выделение квадрата двучлена:

а) докажите, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11;

б) найдите наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$.

а) Чтобы доказать утверждение, преобразуем данное выражение $x^2 - 8x + 27$, выделив в нем полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

В нашем выражении $x^2 - 8x$ можно рассматривать как первые два слагаемых этой формулы, где $m = x$, а $-2mn = -8x$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot n = -8x$, что означает $n = 4$.

Для получения полного квадрата $(x-4)^2$ нам необходимо слагаемое $n^2 = 4^2 = 16$. Представим исходное выражение, добавив и одновременно вычтя 16, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 8x + 27 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 27$

Теперь сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых образуют полный квадрат, а оставшиеся числа складываем:

$(x^2 - 8x + 16) + (27 - 16) = (x-4)^2 + 11$

Мы преобразовали выражение к виду $(x-4)^2 + 11$. Проанализируем его, чтобы найти наименьшее значение.

Слагаемое $(x-4)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-4)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x-4)^2$, равно 0. Это значение достигается, когда основание степени равно нулю: $x-4=0$, то есть при $x=4$.

Соответственно, наименьшее значение всего выражения $(x-4)^2 + 11$ будет достигаться при наименьшем значении $(x-4)^2$ и будет равно $0 + 11 = 11$.

Таким образом, доказано, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11.

Ответ: 11.

б) Чтобы найти наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$, применим тот же метод выделения полного квадрата.

В выражении $a^2 - 4a$ член $-4a$ можно представить как удвоенное произведение $-2 \cdot a \cdot 2$. Отсюда следует, что для получения полного квадрата $(a-2)^2$ нам необходимо добавить слагаемое $2^2 = 4$.

Преобразуем исходное выражение, добавив и вычтя 4:

$a^2 - 4a + 20 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 20$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 4a + 4) + (20 - 4) = (a-2)^2 + 16$

Полученное выражение состоит из двух слагаемых: $(a-2)^2$ и 16.

Слагаемое $(a-2)^2$ является квадратом, поэтому его значение всегда больше или равно нулю: $(a-2)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение слагаемого $(a-2)^2$ равно 0 и достигается при $a-2=0$, то есть при $a=2$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(a-2)^2 + 16$ равно сумме наименьшего значения первого слагаемого и второго слагаемого: $0 + 16 = 16$.

Ответ: 16.