Номер 651, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 651, страница 151.

651. Решите относительно $x$ уравнение:

а) $x^2 = a$;

б) $x^2 = a^2$;

В) $x^2 + 4b = 0$;

Г) $x^2 + 9b^2 = 0$.

а) $x^2 = a$

Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $x = \pm\sqrt{a}$.

2. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Единственным корнем этого уравнения является $x = 0$.

3. Если $a < 0$, правая часть уравнения отрицательна. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt{a}$; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a < 0$, то действительных корней нет.

б) $x^2 = a^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения: $x^2 - a^2 = 0$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$:

$(x - a)(x + a) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

$x - a = 0$, что дает корень $x = a$.

$x + a = 0$, что дает корень $x = -a$.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $a$ и $-a$. Это решение можно записать в виде $x = \pm a$. Данное решение справедливо для любого значения $a$. В случае если $a=0$, оба корня совпадают и равны 0.

Ответ: $x = \pm a$.

в) $x^2 + 4b = 0$

Выразим $x^2$ из уравнения, получив $x^2 = -4b$.

Решение этого уравнения зависит от знака параметра $b$.

1. Если $b < 0$, то выражение $-4b$ является положительным. В этом случае уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}$.

2. Если $b = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда следует, что $x = 0$.

3. Если $b > 0$, то выражение $-4b$ является отрицательным. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $b < 0$, то $x = \pm 2\sqrt{-b}$; если $b = 0$, то $x = 0$; если $b > 0$, то действительных корней нет.

г) $x^2 + 9b^2 = 0$

Перепишем уравнение в виде $x^2 = -9b^2$.

Рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна, то есть $x^2 \ge 0$.

Правая часть, $-9b^2$, всегда неположительна, поскольку $b^2 \ge 0$ для любого действительного $b$.

Равенство вида "неотрицательное число = неположительное число" возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

То есть, $x^2 = 0$ и $-9b^2 = 0$ должны выполняться одновременно.

Из $x^2 = 0$ следует, что $x = 0$.

Из $-9b^2 = 0$ следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение $x = 0$ только при условии, что $b = 0$. Если же $b \neq 0$, то правая часть становится строго отрицательной, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $b = 0$, то $x = 0$; если $b \neq 0$, то действительных корней нет.