Номер 645, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 645, страница 151.

645. При каких значениях параметра $t$ имеет единственный корень уравнение:

а) $3x^2 + tx + 3 = 0;$

б) $2x^2 - tx + 50 = 0;$

в) $tx^2 - 6x + 1 = 0;$

г) $tx^2 + x - 2 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо рассмотреть два общих случая для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Если уравнение является квадратным (т.е. коэффициент $a \neq 0$), оно имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю ($D = b^2 - 4ac = 0$).
2. Если уравнение вырождается в линейное (т.е. коэффициент $a = 0$), оно будет иметь единственный корень, если коэффициент $b \neq 0$.

Применим эти правила к каждому из заданных уравнений.

а) $3x^2 + tx + 3 = 0$

В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен 3, он не равен нулю, следовательно, уравнение всегда является квадратным. Единственный корень будет при условии, что дискриминант равен нулю.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=t$, $c=3$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 - 36$.
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $t$:
$t^2 - 36 = 0$
$t^2 = 36$
$t_1 = 6$, $t_2 = -6$.
Ответ: $t = -6$ или $t = 6$.

б) $2x^2 - tx + 50 = 0$

Коэффициент при $x^2$ равен 2, он не равен нулю, поэтому уравнение всегда является квадратным. Единственный корень будет при условии, что дискриминант равен нулю.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-t$, $c=50$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 - 400$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$t^2 - 400 = 0$
$t^2 = 400$
$t_1 = 20$, $t_2 = -20$.
Ответ: $t = -20$ или $t = 20$.

в) $tx^2 - 6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $t$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю.
Коэффициенты: $a=t$, $b=-6$, $c=1$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot t \cdot 1 = 36 - 4t$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$36 - 4t = 0$
$4t = 36$
$t = 9$.
Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.
Случай 2: $t = 0$.
Уравнение становится линейным. Подставим $t=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0$
$-6x + 1 = 0$
$-6x = -1$
$x = 1/6$.
При $t=0$ уравнение имеет единственный корень.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $t$.
Ответ: $t = 0$ или $t = 9$.

г) $tx^2 + x - 2 = 0$

Коэффициент при $x^2$ в этом уравнении также зависит от параметра $t$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Единственный корень будет при $D=0$.
Коэффициенты: $a=t$, $b=1$, $c=-2$.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot t \cdot (-2) = 1 + 8t$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$1 + 8t = 0$
$8t = -1$
$t = -1/8$.
Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.
Случай 2: $t = 0$.
Уравнение становится линейным. Подставим $t=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 + x - 2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$.
При $t=0$ уравнение имеет единственный корень.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $t$.
Ответ: $t = 0$ или $t = -1/8$.