Номер 642, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 642, страница 150.

642. Решите уравнение с параметром a:

$ax - 2x = a^3 - 2a^2 - 9a + 18.$

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Для его решения преобразуем обе части.

В левой части уравнения вынесем переменную $x$ за скобки:

$ax - 2x = x(a - 2)$

Правую часть уравнения разложим на множители методом группировки:

$a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = (a^3 - 2a^2) - (9a - 18) = a^2(a - 2) - 9(a - 2)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a - 2)$:

$(a - 2)(a^2 - 9)$

Выражение в скобках $a^2 - 9$ является разностью квадратов, которую также можно разложить на множители:

$(a - 2)(a - 3)(a + 3)$

После преобразований исходное уравнение принимает вид:

$x(a - 2) = (a - 2)(a - 3)(a + 3)$

Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a - 2)$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a - 2 = 0$, откуда $a = 2$. Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$x(2 - 2) = (2 - 2)(2 - 3)(2 + 3)$

$x \cdot 0 = 0 \cdot (-1) \cdot 5$

$0 = 0$

Получено верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Это означает, что при $a=2$ решением уравнения является любое действительное число.

2. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a - 2 \ne 0$, откуда $a \ne 2$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 2)$:

$x = \frac{(a - 2)(a - 3)(a + 3)}{a - 2}$

После сокращения дроби получаем:

$x = (a - 3)(a + 3)$

$x = a^2 - 9$

Следовательно, при $a \ne 2$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ:
если $a = 2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in R$);
если $a \ne 2$, то $x = a^2 - 9$.