Номер 639, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 639, страница 148.

639. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

a) $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$;

б) $2-\sqrt{3}$ и $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$.

Чтобы составить приведенное квадратное уравнение ($x^2 + px + q = 0$), зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$). Таким образом, уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

а) Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

2. Найдем произведение корней. В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:

$x^2 - \sqrt{3}x + \frac{1}{2} = 0$.

Чтобы избавиться от дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x^2 - \sqrt{3}x + \frac{1}{2}) = 2 \cdot 0$

$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.

Ответ: $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$

б) Корни уравнения: $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.

1. Упростим второй корень $x_2$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2+\sqrt{3}$:

$x_2 = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3}$.

Теперь мы имеем корни $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = 2+\sqrt{3}$.

2. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3} = 4$.

3. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов:

$x_1 \cdot x_2 = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$.

4. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:

$x^2 - 4x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$