Номер 632, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 632, страница 147.

632. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?

Примем весь объем работы по разгрузке баржи за $1$.
Пусть время, необходимое второму крану для выполнения всей работы в одиночку, равно $x$ часов.
Согласно условию, первому крану для этого требуется на 5 часов больше, то есть $(x+5)$ часов.

Производительность (или скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени.
Производительность первого крана: $P_1 = \frac{1}{x+5}$ (часть работы в час).
Производительность второго крана: $P_2 = \frac{1}{x}$ (часть работы в час).

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность равна: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}$.
Известно, что вместе они разгружают баржу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ части работы в час.

Составим и решим уравнение:
$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x + (x+5)}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$
$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не соответствует условию задачи.
Таким образом, время работы второго крана составляет $x = 10$ часов.
Время работы первого крана равно $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: первому крану потребовалось бы 15 часов, а второму – 10 часов.