Номер 635, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 635, страница 147.

635. Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – весь путь, пройденный мотоциклистом.
• $v_1$ – скорость мотоциклиста на первой половине пути (в км/ч). Это искомая величина.
• $v_2$ – скорость мотоциклиста на второй половине пути (в км/ч).
• $v_{ср}$ – средняя скорость на всем пути, равная 37,5 км/ч.

Первая и вторая половины пути равны $S/2$.

По условию, на второй половине пути мотоциклист снизил скорость на 20 км/ч, следовательно:$v_2 = v_1 - 20$

Средняя скорость вычисляется по формуле:$v_{ср} = \frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}} = \frac{S}{t_1 + t_2}$где $t_1$ – время, затраченное на первую половину пути, а $t_2$ – на вторую.

Время для каждого участка пути можно выразить через расстояние и скорость:$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Подставим эти выражения в формулу средней скорости:$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$

Можно сократить $S$ в числителе и знаменателе:$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Теперь подставим известные значения и выражения для $v_2$ и $v_{ср}$:$37.5 = \frac{2v_1(v_1 - 20)}{v_1 + (v_1 - 20)}$

Упростим полученное уравнение:$37.5 = \frac{2v_1^2 - 40v_1}{2v_1 - 20}$$37.5(2v_1 - 20) = 2v_1^2 - 40v_1$$75v_1 - 750 = 2v_1^2 - 40v_1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$2v_1^2 - 40v_1 - 75v_1 + 750 = 0$$2v_1^2 - 115v_1 + 750 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 - 6000 = 7225$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 \pm \sqrt{7225}}{2 \cdot 2} = \frac{115 \pm 85}{4}$

Получаем два возможных значения для $v_1$:$v_{1,1} = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50$$v_{1,2} = \frac{115 - 85}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

Проверим оба решения.

1. Если $v_1 = 50$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 50 - 20 = 30$ км/ч. Это физически возможное значение.
Проверим среднюю скорость: $v_{ср} = \frac{2 \cdot 50 \cdot 30}{50 + 30} = \frac{3000}{80} = 37.5$ км/ч. Это соответствует условию задачи.

2. Если $v_1 = 7.5$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 7.5 - 20 = -12.5$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, единственное верное решение – это 50 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста на первой половине пути составляла 50 км/ч.