Номер 2, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 148.

2 На примере уравнения $\frac{6}{x^2 - 1} - 1 = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Дробное рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе дроби. Чтобы решить такое уравнение, необходимо выполнить следующие шаги: во-первых, найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной, исключив значения, обращающие знаменатели в ноль. Во-вторых, найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей в уравнении. В-третьих, умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей и получить целое уравнение. В-четвертых, решить полученное целое уравнение. И, наконец, в-пятых, проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ, и отбросить посторонние корни, если они есть.

Продемонстрируем этот алгоритм на примере уравнения: $\frac{6}{x^2 - 1} - 1 = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$

Шаг 1. Находим область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые приводят к делению на ноль.
1. Знаменатель $x^2 - 1 \neq 0$. Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. Знаменатель $x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.
3. Знаменатель $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.
Объединяя все условия, получаем, что область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $1$ и $-1$.

Шаг 2. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Знаменатели в уравнении: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, $x-1$ и $x+1$.
Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для всех дробей является выражение $(x-1)(x+1)$.

Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на НОЗ

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части исходного уравнения на НОЗ, то есть на $(x-1)(x+1)$, при условии, что оно не равно нулю (это условие мы уже учли в ОДЗ).
$\frac{6}{(x-1)(x+1)} \cdot (x-1)(x+1) - 1 \cdot (x-1)(x+1) = \frac{2}{x-1} \cdot (x-1)(x+1) - \frac{3}{x+1} \cdot (x-1)(x+1)$
После сокращения дробей на соответствующие множители в знаменателях, мы получаем целое уравнение:
$6 - (x-1)(x+1) = 2(x+1) - 3(x-1)$

Шаг 4. Решаем полученное целое уравнение

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
$6 - (x^2 - 1) = 2x + 2 - 3x + 3$
$6 - x^2 + 1 = -x + 5$
$7 - x^2 = -x + 5$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = x^2 - x + 5 - 7$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $1$. Эти числа — $2$ и $-1$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Шаг 5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ

Мы получили два потенциальных решения: $x=2$ и $x=-1$. Теперь необходимо сопоставить их с ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq -1$. Следовательно, это действительный корень уравнения.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $x^2-1$ и $x+1$ обращаются в ноль. Следовательно, $x=-1$ — это посторонний корень, который необходимо отбросить.

Таким образом, исходное дробное рациональное уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $x=2$.