Номер 640, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 640, страница 150.

640. Какие случаи надо выделить при решении уравнения $bx + 2x = 3b + 6$ с параметром $b$? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев.

Для решения уравнения $bx + 2x = 3b + 6$ с параметром $b$ необходимо привести его к стандартному виду линейного уравнения $Ax = B$.

Сначала преобразуем левую часть, вынеся $x$ за скобки:

$(b + 2)x = 3b + 6$

Теперь преобразуем правую часть, вынеся за скобки общий множитель 3:

$(b + 2)x = 3(b + 2)$

Решение данного уравнения зависит от коэффициента при переменной $x$, то есть от выражения $(b + 2)$. Таким образом, при решении нужно выделить два основных случая: когда этот коэффициент не равен нулю и когда он равен нулю.

Случай 1: $b + 2 \neq 0$

Этот случай рассматривается при $b \neq -2$. Так как коэффициент при $x$ отличен от нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $(b + 2)$:

$x = \frac{3(b + 2)}{b + 2}$

После сокращения дроби получаем, что уравнение имеет единственный корень:

$x = 3$

Ответ: при $b \neq -2$ корень уравнения $x = 3$.

Случай 2: $b + 2 = 0$

Этот случай рассматривается при $b = -2$. Подставим это значение параметра в уравнение $(b + 2)x = 3(b + 2)$:

$(-2 + 2)x = 3(-2 + 2)$

$0 \cdot x = 3 \cdot 0$

$0 = 0$

Получилось верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что решением уравнения является любое число.

Ответ: при $b = -2$ корнем уравнения является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).