Номер 647, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 647, страница 151.

647. Решите относительно x уравнение

$(a - 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0.$

Данное уравнение $(a - 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0$ содержит параметр $a$. Решение зависит от значения этого параметра, так как от него зависит, является ли уравнение квадратным.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит при $a - 1 = 0$, то есть при $a=1$.

При $a=1$ уравнение принимает вид:

$(1 - 1)x^2 + 2(1)x + 1 + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0$

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$

Таким образом, при $a=1$ уравнение является линейным и имеет единственный корень $x = -1$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$. В этом случае уравнение является квадратным.

Для нахождения корней квадратного уравнения вычислим его дискриминант $D$. Коэффициенты уравнения: $A = a-1$, $B = 2a$, $C = a+1$.

$D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(a-1)(a+1) = 4a^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4$.

Поскольку дискриминант $D = 4 > 0$, при любом $a \neq 1$ уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем эти корни по общей формуле для корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a \pm 2}{2(a-1)} = \frac{2(-a \pm 1)}{2(a-1)} = \frac{-a \pm 1}{a-1}$

Вычислим каждый корень отдельно:

Первый корень:

$x_1 = \frac{-a + 1}{a-1} = \frac{-(a-1)}{a-1} = -1$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-a - 1}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1}$

Итак, при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.

Объединяя полученные результаты, формулируем окончательный ответ.

Ответ: при $a=1$ уравнение имеет один корень $x=-1$; при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня $x_1=-1$ и $x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.