Номер 648, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 648, страница 151.

648. Решите уравнение с параметром k:

$x^2 - (4k + 1)x + 2(2k^2 + k - 3) = 0.$

Данное уравнение $x^2 - (4k + 1)x + 2(2k^2 + k - 3) = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $x$.

Оно имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами:

$a = 1$

$b = -(4k + 1)$

$c = 2(2k^2 + k - 3)$

Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-(4k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot [2(2k^2 + k - 3)] = (4k + 1)^2 - 8(2k^2 + k - 3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (16k^2 + 8k + 1) - (16k^2 + 8k - 24)$

$D = 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 - 8k + 24$

$D = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$ и его значение постоянно и не зависит от параметра $k$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $k$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-(4k + 1)) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{4k + 1 \pm 5}{2}$

Вычислим каждый из двух корней:

$x_1 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} = 2k + 3$

$x_2 = \frac{4k + 1 - 5}{2} = \frac{4k - 4}{2} = 2k - 2$

Ответ: $x_1 = 2k + 3, x_2 = 2k - 2$.