Номер 649, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 649, страница 151.

649. Выясните, при каких значениях параметра b равна 7 сумма корней уравнения

$y^2 - (2b - 1)y + b^2 - b - 2 = 0.$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $y$: $y^2 - (2b - 1)y + b^2 - b - 2 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты при степенях $y$ равны:

• коэффициент при $y^2$: $a = 1$
• коэффициент при $y$: $k = -(2b - 1)$
• свободный член: $c = b^2 - b - 2$

$D = k^2 - 4ac = (-(2b - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - b - 2)$

$D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b - 2) = (4b^2 - 4b + 1) - (4b^2 - 4b - 8)$

$D = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8 = 9$

Поскольку дискриминант $D = 9$ является положительным числом, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $b$.

Согласно теореме Виета, сумма корней $y_1$ и $y_2$ квадратного уравнения $ay^2+ky+c=0$ равна $-k/a$.

Для нашего уравнения сумма корней равна:

$y_1 + y_2 = -\frac{-(2b-1)}{1} = 2b - 1$

По условию задачи, сумма корней равна 7. Составим и решим уравнение относительно $b$:

$2b - 1 = 7$

$2b = 7 + 1$

$2b = 8$

$b = \frac{8}{2}$

$b = 4$

Ответ: 4.