Номер 656, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 656, страница 152.

656. Решите уравнение и выполните проверку:

а) $x^2 - 2x - 5 = 0;$

б) $x^2 + 4x + 1 = 0;$

в) $3y^2 - 4y - 2 = 0;$

г) $5y^2 - 7y + 1 = 0;$

д) $2y^2 + 11y + 10 = 0;$

е) $4x^2 - 9x - 2 = 0.$

а) $x^2 - 2x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью формулы корней через дискриминант.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -5$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{6}$.

Проверка:

Для $x_1 = 1 + \sqrt{6}$:

$(1 + \sqrt{6})^2 - 2(1 + \sqrt{6}) - 5 = (1^2 + 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = (1 + 2\sqrt{6} + 6) - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 7 + 2\sqrt{6} - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 0$. Верно.

Для $x_2 = 1 - \sqrt{6}$:

$(1 - \sqrt{6})^2 - 2(1 - \sqrt{6}) - 5 = (1^2 - 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = (1 - 2\sqrt{6} + 6) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 2\sqrt{6} - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 0$. Верно.

Ответ: $1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6}$.

б) $x^2 + 4x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = 1$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Получаем два корня: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Проверка:

Для $x_1 = -2 + \sqrt{3}$:

$(-2 + \sqrt{3})^2 + 4(-2 + \sqrt{3}) + 1 = (4 - 4\sqrt{3} + 3) + (-8 + 4\sqrt{3}) + 1 = 7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$. Верно.

Для $x_2 = -2 - \sqrt{3}$:

$(-2 - \sqrt{3})^2 + 4(-2 - \sqrt{3}) + 1 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + (-8 - 4\sqrt{3}) + 1 = 7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$. Верно.

Ответ: $-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3}$.

в) $3y^2 - 4y - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -4$, $c = -2$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40$.

Находим корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$.

Получаем два корня: $y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$ и $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$.

Проверка:

Для $y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$:

$3\left(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}\right) - 2 = 3\frac{4 + 4\sqrt{10} + 10}{9} - \frac{8 + 4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14 + 4\sqrt{10}}{3} - \frac{8 + 4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14 + 4\sqrt{10} - 8 - 4\sqrt{10} - 6}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Верно.

Для $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$:

$3\left(\frac{2 - \sqrt{10}}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2 - \sqrt{10}}{3}\right) - 2 = 3\frac{4 - 4\sqrt{10} + 10}{9} - \frac{8 - 4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14 - 4\sqrt{10}}{3} - \frac{8 - 4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14 - 4\sqrt{10} - 8 + 4\sqrt{10} - 6}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{10}}{3}; \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$.

г) $5y^2 - 7y + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 5$, $b = -7$, $c = 1$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 - 20 = 29$.

Находим корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}$.

Получаем два корня: $y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$ и $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$.

Проверка:

Для $y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$:

$5\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}\right)^2 - 7\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}\right) + 1 = 5\frac{49 + 14\sqrt{29} + 29}{100} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78 + 14\sqrt{29}}{20} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{39 + 7\sqrt{29}}{10} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + \frac{10}{10} = \frac{39+7\sqrt{29}-49-7\sqrt{29}+10}{10} = 0$. Верно.

Для $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$:

$5\left(\frac{7 - \sqrt{29}}{10}\right)^2 - 7\left(\frac{7 - \sqrt{29}}{10}\right) + 1 = 5\frac{49 - 14\sqrt{29} + 29}{100} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78 - 14\sqrt{29}}{20} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{39 - 7\sqrt{29}}{10} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + \frac{10}{10} = \frac{39-7\sqrt{29}-49+7\sqrt{29}+10}{10} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{29}}{10}; \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$.

д) $2y^2 + 11y + 10 = 0$

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 11$, $c = 10$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 - 80 = 41$.

Находим корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Получаем два корня: $y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$ и $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$.

Проверка:

Для $y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$:

$2\left(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}\right) + 10 = 2\frac{121 - 22\sqrt{41} + 41}{16} + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{162 - 22\sqrt{41}}{8} + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{81 - 11\sqrt{41}}{4} + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + \frac{40}{4} = \frac{81-11\sqrt{41}-121+11\sqrt{41}+40}{4} = 0$. Верно.

Для $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$:

$2\left(\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}\right) + 10 = 2\frac{121 + 22\sqrt{41} + 41}{16} + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{162 + 22\sqrt{41}}{8} + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{81 + 11\sqrt{41}}{4} + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + \frac{40}{4} = \frac{81+11\sqrt{41}-121-11\sqrt{41}+40}{4} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}; \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$.

е) $4x^2 - 9x - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -9$, $c = -2$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$.

Проверка:

Для $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$:

$4\left(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}\right)^2 - 9\left(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}\right) - 2 = 4\frac{81 + 18\sqrt{113} + 113}{64} - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{194 + 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{97 + 9\sqrt{113}}{8} - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - \frac{16}{8} = \frac{97+9\sqrt{113}-81-9\sqrt{113}-16}{8} = 0$. Верно.

Для $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$:

$4\left(\frac{9 - \sqrt{113}}{8}\right)^2 - 9\left(\frac{9 - \sqrt{113}}{8}\right) - 2 = 4\frac{81 - 18\sqrt{113} + 113}{64} - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{194 - 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{97 - 9\sqrt{113}}{8} - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - \frac{16}{8} = \frac{97-9\sqrt{113}-81+9\sqrt{113}-16}{8} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{9 - \sqrt{113}}{8}; \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$.