Номер 661, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 661, страница 152.

661. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

Обозначим первое из трёх последовательных чётных чисел через $x$. Поскольку числа являются последовательными чётными, то второе число будет $x + 2$, а третье — $x + 4$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 8x + 16$

Соберём все слагаемые в левой части уравнения и приведём подобные члены:

$2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16$

$2x^2 - x^2 + 4x - 8x + 4 - 16 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Получилось приведённое квадратное уравнение. Найдём его корни, например, через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы получили два возможных значения для первого числа, следовательно, условию задачи удовлетворяют две тройки чисел.

Случай 1: Первое число $x = 6$.
Тогда второе число равно $6 + 2 = 8$, а третье число равно $6 + 4 = 10$. Искомая тройка чисел: 6, 8, 10.
Проверим: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Равенство $100=100$ выполняется.

Случай 2: Первое число $x = -2$.
Тогда второе число равно $-2 + 2 = 0$, а третье число равно $-2 + 4 = 2$. Искомая тройка чисел: -2, 0, 2.
Проверим: $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$, и $2^2 = 4$. Равенство $4=4$ выполняется.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.