Номер 657, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 657, страница 152.

657. Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

а) $x^2 - 2x - 2 = 0;$

б) $x^2 + 5x + 3 = 0;$

в) $3x^2 - 7x + 3 = 0;$

г) $5x^2 + 31x + 20 = 0.$

а)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=-2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{3} \approx 1,732$.
$x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1,732 = 2,732 \approx 2,73$.
$x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1,732 = -0,732 \approx -0,73$.
Ответ: $x_1 \approx 2,73$; $x_2 \approx -0,73$.

б)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=5$, $c=3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{13} \approx 3,606$.
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 + 3,606}{2} = \frac{-1,394}{2} = -0,697 \approx -0,70$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 - 3,606}{2} = \frac{-8,606}{2} = -4,303 \approx -4,30$.
Ответ: $x_1 \approx -0,70$; $x_2 \approx -4,30$.

в)

Решим квадратное уравнение $3x^2 - 7x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-7$, $c=3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{13} \approx 3,606$.
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 + 3,606}{6} = \frac{10,606}{6} \approx 1,7676... \approx 1,77$.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 - 3,606}{6} = \frac{3,394}{6} \approx 0,5656... \approx 0,57$.
Ответ: $x_1 \approx 1,77$; $x_2 \approx 0,57$.

г)

Решим квадратное уравнение $5x^2 + 31x + 20 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=31$, $c=20$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 961 - 400 = 561$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{2 \cdot 5} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{10}$.
Для нахождения приближенных значений используем $\sqrt{561} \approx 23,685$.
$x_1 = \frac{-31 + \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 + 23,685}{10} = \frac{-7,315}{10} = -0,7315 \approx -0,73$.
$x_2 = \frac{-31 - \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 - 23,685}{10} = \frac{-54,685}{10} = -5,4685 \approx -5,47$.
Ответ: $x_1 \approx -0,73$; $x_2 \approx -5,47$.