Номер 664, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 664, страница 153.

664. Фотографическая карточка размером $12 \times 18$ см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь $280 \text{ см}^2$.

Пусть $x$ см — искомая ширина рамки.

Размеры фотографической карточки составляют $12$ см в ширину и $18$ см в длину.

Когда карточку наклеили на лист, образовалась рамка одинаковой ширины $x$ со всех сторон. Это означает, что к первоначальной ширине и длине карточки добавилось по $x$ см с каждой из двух сторон.

Таким образом, новые размеры листа (фотокарточка вместе с рамкой) будут:

• Новая ширина: $12 + x + x = (12 + 2x)$ см.
• Новая длина: $18 + x + x = (18 + 2x)$ см.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину. По условию задачи, общая площадь фотокарточки с рамкой равна $280$ см². Можем составить уравнение:

$(12 + 2x)(18 + 2x) = 280$

Раскроем скобки, чтобы решить полученное уравнение:

$12 \cdot 18 + 12 \cdot 2x + 18 \cdot 2x + 2x \cdot 2x = 280$

$216 + 24x + 36x + 4x^2 = 280$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 + 60x + 216 - 280 = 0$

$4x^2 + 60x - 64 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 4:

$x^2 + 15x - 16 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку ширина рамки $x$ является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -16$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 1$.

Проверка:

Если ширина рамки равна $1$ см, то новые размеры листа будут:

Ширина: $12 + 2 \cdot 1 = 14$ см.

Длина: $18 + 2 \cdot 1 = 20$ см.

Площадь: $14 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 280$ см².

Полученная площадь совпадает с данной в условии, значит, решение верное.

Ответ: ширина рамки равна 1 см.