Номер 670, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 670, страница 153.

670. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных нечётных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа нечётные и последовательные, разница между ними равна 2. Следовательно, большее число равно $n+2$.

По условию задачи, разность их кубов равна 866. Составим уравнение, вычитая куб меньшего числа из куба большего:

$(n+2)^3 - n^3 = 866$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 + 2^3) - n^3 = 866$

$n^3 + 6n^2 + 12n + 8 - n^3 = 866$

Упростим выражение, сократив $n^3$ и $-n^3$:

$6n^2 + 12n + 8 = 866$

Перенесём постоянный член в правую часть уравнения:

$6n^2 + 12n = 866 - 8$

$6n^2 + 12n = 858$

Получилось квадратное уравнение. Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$n^2 + 2n = 143$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$n^2 + 2n - 143 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-143) = 4 + 572 = 576$

Найдём корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-2 + \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-2 - \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Согласно условию, мы ищем натуральные числа, то есть положительные целые. Корень $n_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, меньшее из искомых чисел равно $n_1 = 11$. Это нечётное натуральное число.

Тогда большее число равно $n + 2 = 11 + 2 = 13$.

Выполним проверку:

$13^3 - 11^3 = 2197 - 1331 = 866$

Разность кубов действительно равна 866.

Ответ: 11 и 13.