Номер 671, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 671, страница 153.

671. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

a) $x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0;$

б) $x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0;$

в) $y^2 - 6y + 7 = 0;$

г) $p^2 - 10p + 7 = 0.$

а) Решим уравнение $x^2-5\sqrt{2}x+12=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-5\sqrt{2}$, $c=12$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = (25 \cdot 2) - 48 = 50 - 48 = 2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5\sqrt{2}) + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5\sqrt{2}) - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ должны выполняться равенства: $x_1+x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.
В нашем уравнении $p = -5\sqrt{2}$ и $q=12$.
Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Это равно $-p = -(-5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$. Это равно $q=12$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $x_1 = 3\sqrt{2}$, $x_2 = 2\sqrt{2}$.

б) Решим уравнение $x^2+2\sqrt{3}x-72=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=2\sqrt{3}$, $c=-72$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = (4 \cdot 3) + 288 = 12 + 288 = 300$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{300}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
$x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{300}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
В нашем уравнении $p = 2\sqrt{3}$ и $q=-72$.
Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = 4\sqrt{3} + (-6\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Это равно $-p = -(2\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -24 \cdot 3 = -72$. Это равно $q=-72$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $x_1 = 4\sqrt{3}$, $x_2 = -6\sqrt{3}$.

в) Решим уравнение $y^2-6y+7=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-6$, $c=7$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2}$.
$y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
В нашем уравнении $p = -6$ и $q=7$.
Проверяем сумму корней: $y_1 + y_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$. Это равно $-p = -(-6) = 6$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$. Это равно $q=7$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $y_1 = 3 + \sqrt{2}$, $y_2 = 3 - \sqrt{2}$.

г) Решим уравнение $p^2-10p+7=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-10$, $c=7$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 - 28 = 72$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2} = 5 + 3\sqrt{2}$.
$p_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6\sqrt{2}}{2} = 5 - 3\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
В нашем уравнении $p_{coeff} = -10$ и $q=7$ (используем $p_{coeff}$ чтобы не путать с переменной $p$).
Проверяем сумму корней: $p_1 + p_2 = (5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 10$. Это равно $-p_{coeff} = -(-10) = 10$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = (5 + 3\sqrt{2})(5 - 3\sqrt{2}) = 5^2 - (3\sqrt{2})^2 = 25 - (9 \cdot 2) = 25 - 18 = 7$. Это равно $q=7$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $p_1 = 5 + 3\sqrt{2}$, $p_2 = 5 - 3\sqrt{2}$.