Номер 676, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 676, страница 154.

676. Разность корней уравнения $3x^2 + bx + 10 = 0$ равна $4\frac{1}{3}$. Найдите $b$.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + bx + 10 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, разность корней равна $4\frac{1}{3}$. Переведем это значение в неправильную дробь: $|x_1 - x_2| = 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{k}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 + bx + 10 = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $k=b$, $c=10$. Применим теорему Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3}$

Существует тождество, которое связывает разность корней, их сумму и произведение: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$. Возведем в квадрат известную нам разность корней: $(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \frac{169}{9}$.

Теперь подставим все известные и выраженные величины в тождество: $\frac{169}{9} = \left(-\frac{b}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{10}{3}\right)$
$\frac{169}{9} = \frac{b^2}{9} - \frac{40}{3}$

Чтобы решить полученное уравнение, умножим обе его части на 9, чтобы избавиться от дробей: $9 \cdot \frac{169}{9} = 9 \cdot \frac{b^2}{9} - 9 \cdot \frac{40}{3}$
$169 = b^2 - 3 \cdot 40$
$169 = b^2 - 120$

Найдем $b^2$: $b^2 = 169 + 120$
$b^2 = 289$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим возможные значения $b$: $b = \pm\sqrt{289}$
$b = \pm17$

Ответ: $b = \pm17$.