Номер 680, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 680, страница 154.

680. Разность квадратов корней уравнения $2x^2 - 5x + c = 0$ равна 0,25. Найдите $c$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + c = 0$.По условию задачи, разность квадратов корней равна $0,25$. Запишем это математически:$x_1^2 - x_2^2 = 0.25$(Следует отметить, что выбор порядка вычитания, т.е. $x_1^2 - x_2^2$ или $x_2^2 - x_1^2$, не повлияет на итоговое значение $c$, так как произведение корней $x_1 \cdot x_2$ останется тем же).Применим теорему Виета для данного уравнения. Для уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{d}{a}$.В нашем случае $a=2$, $b=-5$.Сумма корней:$x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$Произведение корней:$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$Теперь вернемся к условию $x_1^2 - x_2^2 = 0.25$. Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов:$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0.25$Мы уже нашли, что сумма корней $x_1 + x_2 = 2.5$. Подставим это значение в уравнение:$(x_1 - x_2) \cdot 2.5 = 0.25$Из этого уравнения можно найти разность корней:$x_1 - x_2 = \frac{0.25}{2.5} = 0.1$Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:1) $x_1 + x_2 = 2.5$2) $x_1 - x_2 = 0.1$Сложим первое и второе уравнения:$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 2.5 + 0.1$$2x_1 = 2.6$$x_1 = \frac{2.6}{2} = 1.3$Теперь подставим значение $x_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:$1.3 + x_2 = 2.5$$x_2 = 2.5 - 1.3 = 1.2$Итак, корни уравнения равны $1.3$ и $1.2$.Для того чтобы найти $c$, воспользуемся формулой произведения корней из теоремы Виета:$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$Подставим найденные значения корней:$1.3 \cdot 1.2 = \frac{c}{2}$$1.56 = \frac{c}{2}$Наконец, находим значение $c$:$c = 1.56 \cdot 2 = 3.12$

Ответ: $c = 3.12$