Номер 686, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 686, страница 154.

686. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 + 2x + k = 0$, причём $2x_1 = -3x_2$. Найдите $k$.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 2x + k = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Коэффициенты этого уравнения: $a = 3$, $b = 2$, $c = k$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для корней квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Применим эти формулы к нашему уравнению, подставив известные коэффициенты:

1) $x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$

2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$

Кроме того, в условии задачи дано еще одно соотношение между корнями:

3) $2x_1 = -3x_2$

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x_1$, $x_2$ и $k$). Решим эту систему. Из третьего уравнения выразим $x_1$ через $x_2$:

$x_1 = -\frac{3}{2}x_2$

Теперь подставим это выражение для $x_1$ в первое уравнение (формулу суммы корней):

$(-\frac{3}{2}x_2) + x_2 = -\frac{2}{3}$

Упростим левую часть уравнения:

$-\frac{3}{2}x_2 + \frac{2}{2}x_2 = -\frac{2}{3}$

$-\frac{1}{2}x_2 = -\frac{2}{3}$

Отсюда найдем значение $x_2$:

$x_2 = (-\frac{2}{3}) \cdot (-2) = \frac{4}{3}$

Зная $x_2$, найдем $x_1$:

$x_1 = -\frac{3}{2}x_2 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = -2$

Теперь, когда мы нашли значения обоих корней ($x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{4}{3}$), мы можем найти $k$, подставив эти значения во второе уравнение (формулу произведения корней):

$x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$

$(-2) \cdot \frac{4}{3} = \frac{k}{3}$

$-\frac{8}{3} = \frac{k}{3}$

Из этого равенства следует, что $k = -8$.

Ответ: -8