Номер 693, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 693, страница 155.

693. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

a) $y = 2x + 3$ и $y = \frac{34}{x-5}$;

б) $y = \frac{x^2 - 5x}{x+3}$ и $y = 2x$.

а) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = \frac{34}{x-5}$, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:
$2x + 3 = \frac{34}{x-5}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Умножим обе части уравнения на $(x-5)$, чтобы избавиться от дроби:
$(2x + 3)(x - 5) = 34$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x^2 - 10x + 3x - 15 = 34$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - 7x - 15 - 34 = 0$
$2x^2 - 7x - 49 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-49) = 49 + 392 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$
Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой точки пересечения, подставив значения $x$ в одну из исходных функций, например, в $y = 2x + 3$:
При $x_1 = 7$: $y_1 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17$.
При $x_2 = -3.5$: $y_2 = 2 \cdot (-3.5) + 3 = -7 + 3 = -4$.
Координаты точек пересечения: $(7, 17)$ и $(-3.5, -4)$.
Ответ: $(7, 17)$ и $(-3.5, -4)$.

б) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x^2 - 5x}{x + 3}$ и $y = 2x$, приравняем выражения для $y$:
$\frac{x^2 - 5x}{x + 3} = 2x$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Умножим обе части уравнения на $(x+3)$:
$x^2 - 5x = 2x(x + 3)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x = 2x^2 + 6x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2x^2 - x^2 + 6x + 5x$
$x^2 + 11x = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(x + 11) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 11 = 0 \Rightarrow x_2 = -11$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в более простую функцию $y = 2x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$.
При $x_2 = -11$: $y_2 = 2 \cdot (-11) = -22$.
Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(-11, -22)$.
Ответ: $(0, 0)$ и $(-11, -22)$.