Номер 698, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 698, страница 156.

698. На перегоне в 600 км после прохождения $\frac{1}{4}$ пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч.
Сколько времени поезд был в пути?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть первоначальная, плановая скорость поезда равна $v$ км/ч.

1. Найдем расстояние каждого участка пути.

Общий путь составляет $S_{общ} = 600$ км.Поезд проехал до задержки $\frac{1}{4}$ пути. Найдем это расстояние:

$S_1 = \frac{1}{4} \cdot S_{общ} = \frac{1}{4} \cdot 600 = 150$ км.

Оставшееся расстояние, которое поезд проехал с увеличенной скоростью, составляет:

$S_2 = S_{общ} - S_1 = 600 - 150 = 450$ км.

2. Составим уравнение.

Поезд был задержан на 1 час 30 минут, что равно $1.5$ часа. Чтобы прибыть на конечную станцию вовремя, поезд должен был наверстать это время на оставшемся участке пути $S_2$.

Время, которое поезд должен был потратить на оставшийся путь по расписанию (со скоростью $v$):

$t_{план} = \frac{S_2}{v} = \frac{450}{v}$

Фактическая скорость на втором участке была $v + 15$ км/ч. Фактическое время, затраченное на этот участок:

$t_{факт} = \frac{S_2}{v + 15} = \frac{450}{v + 15}$

Разница между плановым и фактическим временем движения на втором участке равна времени задержки:

$t_{план} - t_{факт} = 1.5$

$\frac{450}{v} - \frac{450}{v + 15} = 1.5$

3. Решим уравнение.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+15)$:

$\frac{450(v + 15) - 450v}{v(v + 15)} = 1.5$

$\frac{450v + 6750 - 450v}{v^2 + 15v} = 1.5$

$\frac{6750}{v^2 + 15v} = 1.5$

Используя свойство пропорции, получаем:

$1.5(v^2 + 15v) = 6750$

Разделим обе части уравнения на 1.5:

$v^2 + 15v = \frac{6750}{1.5}$

$v^2 + 15v = 4500$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 15v - 4500 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{18225} = 135$.

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость поезда была $v = 60$ км/ч.

4. Найдем общее время в пути.

Вопрос задачи — "Сколько времени поезд был в пути?". Так как поезд прибыл вовремя, общее время в пути равно плановому времени, которое требовалось для преодоления всего расстояния с первоначальной скоростью.

$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{600 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 10$ часов.

Проверка:

Время на первом участке: $t_1 = \frac{150}{60} = 2.5$ часа.

Время на втором участке (с увеличенной скоростью $60+15=75$ км/ч): $t_2 = \frac{450}{75} = 6$ часов.

Общее время с задержкой: $T_{факт} = t_1 + t_{задержки} + t_2 = 2.5 + 1.5 + 6 = 10$ часов.Плановое время совпадает с фактическим, значит, решение верное.

Ответ: 10 часов.