Страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

696. Решите уравнение:

а) $\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{3(2x - 1)}{7(2x + 1)} + \frac{8}{1 - 4x^2} = 0;$

б) $\frac{y}{y^2 - 9} - \frac{1}{y^2 + 3y} + \frac{3}{6y + 2y^2} = 0;$

В) $\frac{2y - 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 - 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 - 3y};$

Г) $\frac{3}{x^2 - 9} - \frac{1}{9 - 6x + x^2} = \frac{3}{2x^2 + 6x};$

Д) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x^2 + 4x + 16} = \frac{1}{x - 4};$

е) $\frac{3}{8y^3 + 1} - \frac{1}{2y + 1} = \frac{y + 3}{4y^2 - 2y + 1};$

ж) $\frac{32}{x^3 - 2x^2 - x + 2} + \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x + 1};$

з) $\frac{1}{3(x - 4)} + \frac{1}{2(x^2 + 3)} + \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 3x - 12} = 0.$

а) $ \frac{2x+1}{2x-1} - \frac{3(2x-1)}{7(2x+1)} + \frac{8}{1-4x^2} = 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $ 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} $ $ 2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} $ $ 1-4x^2 \neq 0 \implies (1-2x)(1+2x) \neq 0 \implies x \neq \pm \frac{1}{2} $ ОДЗ: $ x \neq \pm \frac{1}{2} $.

2. Преобразуем третий знаменатель: $ 1-4x^2 = -(4x^2-1) = -(2x-1)(2x+1) $. Затем приведем все дроби к общему знаменателю $ 7(2x-1)(2x+1) $: $ \frac{2x+1}{2x-1} - \frac{3(2x-1)}{7(2x+1)} - \frac{8}{(2x-1)(2x+1)} = 0 $ $ \frac{7(2x+1)(2x+1) - 3(2x-1)(2x-1) - 8 \cdot 7}{7(2x-1)(2x+1)} = 0 $

3. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя: $ 7(2x+1)^2 - 3(2x-1)^2 - 56 = 0 $ $ 7(4x^2 + 4x + 1) - 3(4x^2 - 4x + 1) - 56 = 0 $ $ 28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 - 56 = 0 $ $ 16x^2 + 40x - 52 = 0 $ Разделим уравнение на 4: $ 4x^2 + 10x - 13 = 0 $

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 100 + 208 = 308 $ $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 77}}{8} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{77}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{77}}{4} $

5. Оба корня $ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{77}}{4} $ и $ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4} $ не равны $ \pm \frac{1}{2} $, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \frac{-5 - \sqrt{77}}{4}, \frac{-5 + \sqrt{77}}{4} $.

б) $ \frac{y}{y^2-9} - \frac{1}{y^2+3y} + \frac{3}{6y+2y^2} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ: $ y^2-9 = (y-3)(y+3) $ $ y^2+3y = y(y+3) $ $ 6y+2y^2 = 2y(3+y) $ ОДЗ: $ y \neq 0, y \neq 3, y \neq -3 $.

2. Общий знаменатель $ 2y(y-3)(y+3) $. Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{y \cdot 2y - 1 \cdot 2(y-3) + 3 \cdot (y-3)}{2y(y-3)(y+3)} = 0 $

3. Решим уравнение для числителя: $ 2y^2 - 2(y-3) + 3(y-3) = 0 $ $ 2y^2 - 2y + 6 + 3y - 9 = 0 $ $ 2y^2 + y - 3 = 0 $

4. Решим квадратное уравнение: $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $ $ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4} $ $ y_1 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 $ $ y_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $

5. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ -1.5; 1 $.

в) $ \frac{2y-1}{14y^2+7y} + \frac{8}{12y^2-3} = \frac{2y+1}{6y^2-3y} $

1. Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ: $ 14y^2+7y = 7y(2y+1) $ $ 12y^2-3 = 3(4y^2-1) = 3(2y-1)(2y+1) $ $ 6y^2-3y = 3y(2y-1) $ ОДЗ: $ y \neq 0, y \neq \pm \frac{1}{2} $.

2. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $ 21y(2y-1)(2y+1) $: $ \frac{3(2y-1)^2 + 8 \cdot 7y - 7(2y+1)^2}{21y(2y-1)(2y+1)} = 0 $

3. Решим уравнение для числителя: $ 3(4y^2 - 4y + 1) + 56y - 7(4y^2 + 4y + 1) = 0 $ $ 12y^2 - 12y + 3 + 56y - 28y^2 - 28y - 7 = 0 $ $ -16y^2 + 16y - 4 = 0 $ $ 4y^2 - 4y + 1 = 0 $

4. Уравнение является полным квадратом: $ (2y-1)^2 = 0 $ $ 2y-1 = 0 \implies y = \frac{1}{2} $

5. Полученный корень $ y = \frac{1}{2} $ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $ \frac{3}{x^2-9} - \frac{1}{9-6x+x^2} = \frac{3}{2x^2+6x} $

1. Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $ $ 9-6x+x^2 = (x-3)^2 $ $ 2x^2+6x = 2x(x+3) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 3 $.

2. Приведем к общему знаменателю $ 2x(x-3)^2(x+3) $: $ \frac{3 \cdot 2x(x-3) - 1 \cdot 2x(x+3)}{2x(x-3)^2(x+3)} = \frac{3 \cdot (x-3)^2}{2x(x-3)^2(x+3)} $

3. Решим уравнение для числителей: $ 6x(x-3) - 2x(x+3) = 3(x-3)^2 $ $ 6x^2 - 18x - 2x^2 - 6x = 3(x^2 - 6x + 9) $ $ 4x^2 - 24x = 3x^2 - 18x + 27 $ $ x^2 - 6x - 27 = 0 $

4. Решим квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $ x_1=9, x_2=-3 $.

5. Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_1=9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 9 $.

д) $ \frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x^2+4x+16} = \frac{1}{x-4} $

1. Разложим знаменатель $ x^3-64 = (x-4)(x^2+4x+16) $ (разность кубов). ОДЗ: $ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $. (Выражение $ x^2+4x+16 $ всегда положительно).

2. Приведем к общему знаменателю $ (x-4)(x^2+4x+16) $: $ \frac{9x+12 - 1 \cdot (x-4)}{(x-4)(x^2+4x+16)} = \frac{1 \cdot (x^2+4x+16)}{(x-4)(x^2+4x+16)} $

3. Решим уравнение для числителей: $ 9x+12 - (x-4) = x^2+4x+16 $ $ 8x+16 = x^2+4x+16 $ $ x^2 - 4x = 0 $ $ x(x-4) = 0 $

4. Корни уравнения: $ x_1=0, x_2=4 $.

5. Корень $ x_2=4 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_1=0 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 0 $.

е) $ \frac{3}{8y^3+1} - \frac{1}{2y+1} = \frac{y+3}{4y^2-2y+1} $

1. Разложим знаменатель $ 8y^3+1 = (2y+1)(4y^2-2y+1) $ (сумма кубов). ОДЗ: $ 2y+1 \neq 0 \implies y \neq -1/2 $. (Выражение $ 4y^2-2y+1 $ всегда положительно).

2. Приведем к общему знаменателю $ (2y+1)(4y^2-2y+1) $: $ \frac{3 - 1 \cdot (4y^2-2y+1)}{(2y+1)(4y^2-2y+1)} = \frac{(y+3)(2y+1)}{(2y+1)(4y^2-2y+1)} $

3. Решим уравнение для числителей: $ 3 - 4y^2+2y-1 = 2y^2+y+6y+3 $ $ -4y^2+2y+2 = 2y^2+7y+3 $ $ 6y^2+5y+1 = 0 $

4. Решим квадратное уравнение: $ D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 $ $ y = \frac{-5 \pm 1}{12} $ $ y_1 = \frac{-5+1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} $ $ y_2 = \frac{-5-1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} $

5. Корень $ y_2 = -1/2 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ y_1 = -1/3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $.

ж) $ \frac{32}{x^3-2x^2-x+2} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x+1} $

1. Разложим первый знаменатель на множители методом группировки: $ x^3-2x^2-x+2 = x^2(x-2) - (x-2) = (x^2-1)(x-2) = (x-1)(x+1)(x-2) $. ОДЗ: $ x \neq 1, x \neq -1, x \neq 2 $.

2. Приведем к общему знаменателю $ (x-1)(x+1)(x-2) $: $ \frac{32 + 1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)(x-2)} = \frac{1 \cdot (x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} $

3. Решим уравнение для числителей: $ 32+x+1 = (x-1)(x-2) $ $ x+33 = x^2-3x+2 $ $ x^2-4x-31=0 $

4. Решим квадратное уравнение: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-31) = 16 + 124 = 140 $ $ x = \frac{4 \pm \sqrt{140}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{35}}{2} = 2 \pm \sqrt{35} $

5. Оба корня $ x_1 = 2 - \sqrt{35} $ и $ x_2 = 2 + \sqrt{35} $ не совпадают с запрещенными значениями $ \pm 1, 2 $, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $ 2 - \sqrt{35}, 2 + \sqrt{35} $.

з) $ \frac{1}{3(x-4)} + \frac{1}{2(x^2+3)} + \frac{1}{x^3-4x^2+3x-12} = 0 $

1. Разложим третий знаменатель на множители методом группировки: $ x^3-4x^2+3x-12 = x^2(x-4)+3(x-4) = (x-4)(x^2+3) $. ОДЗ: $ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $. (Выражение $ x^2+3 $ всегда положительно).

2. Приведем к общему знаменателю $ 6(x-4)(x^2+3) $: $ \frac{1 \cdot 2(x^2+3) + 1 \cdot 3(x-4) + 1 \cdot 6}{6(x-4)(x^2+3)} = 0 $

3. Решим уравнение для числителя: $ 2(x^2+3) + 3(x-4) + 6 = 0 $ $ 2x^2+6+3x-12+6 = 0 $ $ 2x^2+3x = 0 $ $ x(2x+3) = 0 $

4. Корни уравнения: $ x_1=0 $ или $ 2x+3=0 \implies x_2 = -3/2 = -1.5 $.

5. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ -1.5; 0 $.

697. Найдите значения переменной $y$, при которых:

а) сумма дробей $\frac{6}{y+1}$ и $\frac{y}{y-2}$ равна их произведению;

б) сумма дробей $\frac{2}{y-3}$ и $\frac{6}{y+3}$ равна их частному;

в) разность дробей $\frac{y+12}{y-4}$ и $\frac{y}{y+4}$ равна их произведению.

а)

Согласно условию, сумма дробей $ \frac{6}{y+1} $ и $ \frac{y}{y-2} $ равна их произведению. Составим и решим уравнение.

$ \frac{6}{y+1} + \frac{y}{y-2} = \frac{6}{y+1} \cdot \frac{y}{y-2} $

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной y определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ y+1 \neq 0 \implies y \neq -1 $ и $ y-2 \neq 0 \implies y \neq 2 $.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $ (y+1)(y-2) $:
$ \frac{6(y-2) + y(y+1)}{(y+1)(y-2)} = \frac{6y}{(y+1)(y-2)} $

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$ 6(y-2) + y(y+1) = 6y $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 6y - 12 + y^2 + y = 6y $
$ y^2 + 7y - 12 = 6y $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ y^2 + 7y - 6y - 12 = 0 $
$ y^2 + y - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -12. Следовательно, корни уравнения:
$ y_1 = -4 $, $ y_2 = 3 $.

Оба корня (-4 и 3) принадлежат области допустимых значений, так как не равны -1 и 2.

Ответ: -4; 3.

б)

По условию, сумма дробей $ \frac{2}{y-3} $ и $ \frac{6}{y+3} $ равна их частному (результату деления первой дроби на вторую). Составим уравнение:

$ \frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3} $

ОДЗ: знаменатели не равны нулю $ y-3 \neq 0 \implies y \neq 3 $ и $ y+3 \neq 0 \implies y \neq -3 $. Также делитель не должен быть равен нулю, но дробь $ \frac{6}{y+3} $ не равна нулю, так как ее числитель 6 отличен от нуля.

Преобразуем правую часть уравнения (деление дробей):
$ \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} \cdot \frac{y+3}{6} = \frac{2(y+3)}{6(y-3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $

Уравнение принимает вид:
$ \frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{y+3}{3(y-3)} $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (y-3)(y+3) $:
$ \frac{2(y+3) + 6(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $
$ \frac{2y+6+6y-18}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $
$ \frac{8y-12}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 3(y-3)(y+3) $, чтобы избавиться от дробей:
$ 3(8y-12) = (y+3)(y+3) $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$ 24y - 36 = y^2 + 6y + 9 $
$ y^2 + 6y - 24y + 9 + 36 = 0 $
$ y^2 - 18y + 45 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 18, а произведение 45. Корни:
$ y_1 = 3 $, $ y_2 = 15 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $). Корень $ y = 3 $ является посторонним. Корень $ y = 15 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 15.

в)

По условию, разность дробей $ \frac{y+12}{y-4} $ и $ \frac{y}{y+4} $ равна их произведению. Составим уравнение:

$ \frac{y+12}{y-4} - \frac{y}{y+4} = \frac{y+12}{y-4} \cdot \frac{y}{y+4} $

ОДЗ: знаменатели не равны нулю $ y-4 \neq 0 \implies y \neq 4 $ и $ y+4 \neq 0 \implies y \neq -4 $.

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (y-4)(y+4) $:
$ \frac{(y+12)(y+4) - y(y-4)}{(y-4)(y+4)} = \frac{y(y+12)}{(y-4)(y+4)} $

Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:
$ (y+12)(y+4) - y(y-4) = y(y+12) $

Раскроем скобки и упростим:
$ (y^2 + 4y + 12y + 48) - (y^2 - 4y) = y^2 + 12y $
$ y^2 + 16y + 48 - y^2 + 4y = y^2 + 12y $
$ 20y + 48 = y^2 + 12y $

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ y^2 + 12y - 20y - 48 = 0 $
$ y^2 - 8y - 48 = 0 $

Решим уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 8, произведение -48. Корни:
$ y_1 = 12 $, $ y_2 = -4 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ y \neq 4 $, $ y \neq -4 $). Корень $ y = -4 $ является посторонним. Корень $ y = 12 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 12.

698. На перегоне в 600 км после прохождения $\frac{1}{4}$ пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч.
Сколько времени поезд был в пути?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть первоначальная, плановая скорость поезда равна $v$ км/ч.

1. Найдем расстояние каждого участка пути.

Общий путь составляет $S_{общ} = 600$ км.Поезд проехал до задержки $\frac{1}{4}$ пути. Найдем это расстояние:

$S_1 = \frac{1}{4} \cdot S_{общ} = \frac{1}{4} \cdot 600 = 150$ км.

Оставшееся расстояние, которое поезд проехал с увеличенной скоростью, составляет:

$S_2 = S_{общ} - S_1 = 600 - 150 = 450$ км.

2. Составим уравнение.

Поезд был задержан на 1 час 30 минут, что равно $1.5$ часа. Чтобы прибыть на конечную станцию вовремя, поезд должен был наверстать это время на оставшемся участке пути $S_2$.

Время, которое поезд должен был потратить на оставшийся путь по расписанию (со скоростью $v$):

$t_{план} = \frac{S_2}{v} = \frac{450}{v}$

Фактическая скорость на втором участке была $v + 15$ км/ч. Фактическое время, затраченное на этот участок:

$t_{факт} = \frac{S_2}{v + 15} = \frac{450}{v + 15}$

Разница между плановым и фактическим временем движения на втором участке равна времени задержки:

$t_{план} - t_{факт} = 1.5$

$\frac{450}{v} - \frac{450}{v + 15} = 1.5$

3. Решим уравнение.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+15)$:

$\frac{450(v + 15) - 450v}{v(v + 15)} = 1.5$

$\frac{450v + 6750 - 450v}{v^2 + 15v} = 1.5$

$\frac{6750}{v^2 + 15v} = 1.5$

Используя свойство пропорции, получаем:

$1.5(v^2 + 15v) = 6750$

Разделим обе части уравнения на 1.5:

$v^2 + 15v = \frac{6750}{1.5}$

$v^2 + 15v = 4500$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 15v - 4500 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{18225} = 135$.

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость поезда была $v = 60$ км/ч.

4. Найдем общее время в пути.

Вопрос задачи — "Сколько времени поезд был в пути?". Так как поезд прибыл вовремя, общее время в пути равно плановому времени, которое требовалось для преодоления всего расстояния с первоначальной скоростью.

$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{600 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 10$ часов.

Проверка:

Время на первом участке: $t_1 = \frac{150}{60} = 2.5$ часа.

Время на втором участке (с увеличенной скоростью $60+15=75$ км/ч): $t_2 = \frac{450}{75} = 6$ часов.

Общее время с задержкой: $T_{факт} = t_1 + t_{задержки} + t_2 = 2.5 + 1.5 + 6 = 10$ часов.Плановое время совпадает с фактическим, значит, решение верное.

Ответ: 10 часов.

699. Туристы совершили три перехода в $12,5 \text{ км}$, $18 \text{ км}$ и $14 \text{ км}$, причём скорость на первом переходе была на $1 \text{ км/ч}$ меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на $30 \text{ мин}$ больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость туристов на первом переходе. Обозначим скорости на трех переходах как $v_1$, $v_2$ и $v_3$.

$v_1 = x$ км/ч.

Согласно условию, скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч меньше скорости на втором ($v_2$), следовательно, $v_2 = v_1 + 1 = x + 1$ км/ч.

Также, скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч больше скорости на третьем ($v_3$), следовательно, $v_3 = v_1 - 1 = x - 1$ км/ч.

Известны расстояния каждого перехода:

• $S_1 = 12,5$ км
• $S_2 = 18$ км
• $S_3 = 14$ км

Время, затраченное на каждый переход, вычисляется по формуле $t = S/v$:

• Время на первый переход: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{12,5}{x}$ ч
• Время на второй переход: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18}{x+1}$ ч
• Время на третий переход: $t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{14}{x-1}$ ч

В условии сказано, что на третий переход они затратили на 30 минут (то есть на 0,5 часа) больше, чем на второй. На основании этого составим уравнение:

$t_3 = t_2 + 0,5$

$\frac{14}{x-1} = \frac{18}{x+1} + 0,5$

Решим полученное уравнение. Перенесем член с переменной в левую часть:

$\frac{14}{x-1} - \frac{18}{x+1} = 0,5$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$:

$\frac{14(x+1) - 18(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0,5$

$\frac{14x + 14 - 18x + 18}{x^2 - 1} = 0,5$

$\frac{32 - 4x}{x^2 - 1} = 0,5$

Умножим обе части на $2(x^2-1)$, чтобы избавиться от дроби. Область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$2(32 - 4x) = x^2 - 1$

$64 - 8x = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 8x - 65 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-65) = 64 + 260 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 18}{2}$

$x_1 = \frac{-8 + 18}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-8 - 18}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -13$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость на первом переходе $v_1 = 5$ км/ч.

Найдем скорости на втором и третьем переходах:

• $v_2 = x + 1 = 5 + 1 = 6$ км/ч
• $v_3 = x - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч

Теперь вычислим время, затраченное на каждый переход:

• $t_1 = \frac{12,5}{5} = 2,5$ часа
• $t_2 = \frac{18}{6} = 3$ часа
• $t_3 = \frac{14}{4} = 3,5$ часа

Общее время, которое заняли все переходы, равно сумме времени каждого перехода:

$T_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2,5 + 3 + 3,5 = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.

700. Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от $A$ до $B$ длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на $\frac{2}{5}$ ч меньше, чем на путь от $A$ до $B$. С какой скоростью шёл автомобиль из $A$ в $B$?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная постоянная скорость автомобиля, с которой он шёл из пункта А в пункт В. Расстояние между пунктами А и В равно $240$ км.

Время, затраченное на путь из А в В, можно выразить формулой: $t_{АВ} = \frac{S}{v} = \frac{240}{v}$ ч.

На обратном пути автомобиль прошёл половину пути, то есть $240 / 2 = 120$ км, с той же скоростью $v$. Время, затраченное на этот участок, составляет $t_1 = \frac{120}{v}$ ч.

Вторую половину пути, также равную $120$ км, автомобиль прошёл со скоростью, увеличенной на $10$ км/ч, то есть $v + 10$ км/ч. Время на этом участке пути: $t_2 = \frac{120}{v+10}$ ч.

Общее время, затраченное на обратный путь, равно сумме времён на двух участках: $t_{ВА} = t_1 + t_2 = \frac{120}{v} + \frac{120}{v+10}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на $\frac{2}{5}$ часа меньше, чем на путь от А до В. Это означает, что разница во времени составляет $\frac{2}{5}$ ч. Составим уравнение:

$t_{АВ} - t_{ВА} = \frac{2}{5}$

Подставим выражения для времени:

$\frac{240}{v} - \left( \frac{120}{v} + \frac{120}{v+10} \right) = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения:

$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{120(v+10) - 120v}{v(v+10)} = \frac{2}{5}$

$\frac{120v + 1200 - 120v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1200}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):

$2 \cdot (v^2 + 10v) = 1200 \cdot 5$

$2v^2 + 20v = 6000$

Перенесём все члены в левую часть и разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

$2v^2 + 20v - 6000 = 0 \quad | :2$

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдём корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 110}{2}$

$v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, искомая скорость равна $50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.