Страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

701. Расстояние от A до B, равное 400 км, поезд прошёл с некоторой постоянной скоростью; $ \frac{2}{5} $ обратного пути из B в А он шёл с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ (км/ч) — начальная постоянная скорость поезда. Тогда скорость поезда на последнем участке пути равна $(v-20)$ км/ч. Общее расстояние от А до В составляет 400 км.

Весь путь можно разделить на три участка:

1. Путь из А в В.
2. Часть обратного пути из В в А с начальной скоростью.
3. Оставшаяся часть обратного пути из В в А с уменьшенной скоростью.

Рассчитаем время, затраченное на каждый из этих участков.

1. Время, затраченное на путь из А в В (расстояние 400 км, скорость $v$ км/ч):
$t_1 = \frac{S}{v} = \frac{400}{v}$ ч.

2. На обратном пути поезд сначала прошел $\frac{2}{5}$ всего расстояния с той же скоростью. Найдем это расстояние:
$S_{обр1} = \frac{2}{5} \cdot 400 = 160$ км.
Время, затраченное на этот участок (расстояние 160 км, скорость $v$ км/ч):
$t_2 = \frac{160}{v}$ ч.

3. Оставшееся расстояние на обратном пути:
$S_{обр2} = 400 - 160 = 240$ км.
Скорость на этом участке была уменьшена на 20 км/ч, то есть стала $(v-20)$ км/ч. Время, затраченное на этот участок:
$t_3 = \frac{240}{v-20}$ ч.
При этом должно выполняться условие $v > 20$, так как скорость не может быть отрицательной.

Общее время, затраченное на всю дорогу, равно 11 часов. Составим уравнение, сложив время всех трех участков:
$t_1 + t_2 + t_3 = 11$
$\frac{400}{v} + \frac{160}{v} + \frac{240}{v-20} = 11$

Теперь решим это уравнение:
$\frac{560}{v} + \frac{240}{v-20} = 11$
Приведем дроби к общему знаменателю $v(v-20)$:
$\frac{560(v-20) + 240v}{v(v-20)} = 11$
$560(v-20) + 240v = 11v(v-20)$
$560v - 11200 + 240v = 11v^2 - 220v$
$800v - 11200 = 11v^2 - 220v$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$11v^2 - 220v - 800v + 11200 = 0$
$11v^2 - 1020v + 11200 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ :
$D = (-1020)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 11200 = 1040400 - 492800 = 547600$
$\sqrt{D} = \sqrt{547600} = 740$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 + 740}{2 \cdot 11} = \frac{1760}{22} = 80$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 - 740}{2 \cdot 11} = \frac{280}{22} = \frac{140}{11} \approx 12.73$

Проверим корни на соответствие условию $v > 20$.
Корень $v_1 = 80$ удовлетворяет условию $80 > 20$.
Корень $v_2 = \frac{140}{11}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{140}{11} < 20$. Этот корень является посторонним.
Следовательно, начальная скорость поезда была $v = 80$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость поезда на последнем участке. Эта скорость равна $(v-20)$ км/ч.
$80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

702. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение на основе данных о времени движения.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.
Собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде) по условию равна 12 км/ч.

Когда лодка движется вверх по реке (против течения), ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (12 - x)$ км/ч.
Расстояние, которое турист проехал вверх по реке, составляет 25 км.
Время, затраченное на путь вверх по реке, вычисляется по формуле $t = S/v$:
$t_{лодки} = \frac{25}{12 - x}$ часов.

На обратном пути турист спускался на плоту. Скорость плота в реке равна скорости течения реки, то есть $x$ км/ч.
Расстояние то же самое — 25 км.
Время, затраченное на путь на плоту, равно:
$t_{плота} = \frac{25}{x}$ часов.

По условию, в лодке турист плыл на 10 часов меньше, чем на плоту. Это можно записать в виде уравнения:
$t_{плота} - t_{лодки} = 10$

Подставим выражения для времени в это уравнение:
$\frac{25}{x} - \frac{25}{12 - x} = 10$

Для решения этого рационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений. Скорость течения $x$ должна быть положительной ($x > 0$). Также скорость лодки против течения должна быть положительной, чтобы она могла двигаться вверх по реке, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$. Таким образом, $0 < x < 12$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(12 - x)$:
$\frac{25(12 - x) - 25x}{x(12 - x)} = 10$
$\frac{300 - 25x - 25x}{12x - x^2} = 10$
$\frac{300 - 50x}{12x - x^2} = 10$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $12x - x^2$:
$300 - 50x = 10(12x - x^2)$
$300 - 50x = 120x - 10x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$10x^2 - 120x - 50x + 300 = 0$
$10x^2 - 170x + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 10 для упрощения:
$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 17, а их произведение равно 30. Легко подобрать корни:
$x_1 = 15$
$x_2 = 2$

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений ($0 < x < 12$).
Корень $x_1 = 15$ не подходит, так как $15 > 12$. Этот корень является посторонним, так как при такой скорости течения лодка не смогла бы двигаться против него.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $0 < 2 < 12$.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

703. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение на основе данных из условия.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения в реке.
По условию, скорость течения в притоке на 1 км/ч больше, следовательно, скорость течения в притоке равна $(x + 1)$ км/ч.
Собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна 10 км/ч.

Когда лодка движется вверх по реке (против течения), ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения.
Скорость лодки вверх по реке: $v_1 = 10 - x$ км/ч.
Скорость лодки вверх по притоку: $v_2 = 10 - (x + 1) = 10 - x - 1 = 9 - x$ км/ч.

Заметим, что для движения против течения скорость лодки должна быть больше скорости течения, поэтому должны выполняться условия:
$10 - x > 0 \implies x < 10$
$9 - x > 0 \implies x < 9$
Также скорость течения не может быть отрицательной, $x > 0$. Таким образом, искомое значение $x$ должно находиться в интервале $(0; 9)$.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Лодка прошла 35 км вверх по реке. Время, затраченное на этот путь: $t_1 = \frac{35}{10 - x}$ ч.
Лодка прошла 18 км вверх по притоку. Время, затраченное на этот путь: $t_2 = \frac{18}{9 - x}$ ч.

Общее время в пути составило 8 часов, поэтому можно составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 8$
$\frac{35}{10 - x} + \frac{18}{9 - x} = 8$

Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $(10 - x)(9 - x)$:
$\frac{35(9 - x) + 18(10 - x)}{(10 - x)(9 - x)} = 8$
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(10 - x)(9 - x)$, учитывая, что $x \neq 10$ и $x \neq 9$:
$35(9 - x) + 18(10 - x) = 8(10 - x)(9 - x)$
Раскроем скобки:
$315 - 35x + 180 - 18x = 8(90 - 10x - 9x + x^2)$
$495 - 53x = 8(x^2 - 19x + 90)$
$495 - 53x = 8x^2 - 152x + 720$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$8x^2 - 152x + 53x + 720 - 495 = 0$
$8x^2 - 99x + 225 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-99)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 225 = 9801 - 32 \cdot 225 = 9801 - 7200 = 2601$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$
$x_1 = \frac{99 + 51}{2 \cdot 8} = \frac{150}{16} = \frac{75}{8} = 9.375$
$x_2 = \frac{99 - 51}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$

Проверим найденные корни на соответствие ранее определенному условию $0 < x < 9$.
Корень $x_1 = 9.375$ не удовлетворяет условию $x < 9$. Если бы скорость течения в реке была 9.375 км/ч, то скорость вверх по притоку ($9 - x$) была бы отрицательной, что физически невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $0 < 3 < 9$.

Таким образом, скорость течения в реке равна 3 км/ч.
Проверим решение:
Скорость течения в притоке: $3 + 1 = 4$ км/ч.
Время движения по реке: $\frac{35}{10 - 3} = \frac{35}{7} = 5$ ч.
Время движения по притоку: $\frac{18}{9 - 3} = \frac{18}{6} = 3$ ч.
Общее время: $5 + 3 = 8$ ч.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: скорость течения в реке равна 3 км/ч.

704. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость плота. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки.

По условию, скорость катера на 12 км/ч больше скорости плота. Следовательно, скорость катера по течению $v_к$ равна $v_п + 12$ км/ч.

Катер отправился вслед за плотом через 5 часов 20 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 5 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{16}{3} \text{ ч}$.

Катер догнал плот, пройдя расстояние $S = 20$ км. Это означает, что к моменту встречи и плот, и катер преодолели одинаковое расстояние в 20 км от пункта А.

Время, которое затратил на этот путь плот, равно $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{20}{v_п}$ часов.

Время, которое затратил на этот путь катер, равно $t_к = \frac{S}{v_к} = \frac{20}{v_п + 12}$ часов.

Так как катер вышел на $\frac{16}{3}$ часа позже плота, то время движения плота было на эту величину больше времени движения катера. Можем составить уравнение:

$t_п - t_к = \frac{16}{3}$

Подставим в него выражения для $t_п$ и $t_к$:

$\frac{20}{v_п} - \frac{20}{v_п + 12} = \frac{16}{3}$

Решим это уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{20(v_п + 12) - 20v_п}{v_п(v_п + 12)} = \frac{16}{3}$

$\frac{20v_п + 240 - 20v_п}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

$\frac{240}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$240 \cdot 3 = 16 \cdot (v_п^2 + 12v_п)$

$720 = 16v_п^2 + 192v_п$

Разделим все уравнение на 16 для упрощения:

$45 = v_п^2 + 12v_п$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_п^2 + 12v_п - 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-12$, а их произведение равно $-45$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-15$.

Корни уравнения: $v_{п1} = 3$ и $v_{п2} = -15$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $-15$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, скорость плота составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

705. Рыболов отправился на лодке от пункта $N$ вверх по реке. Проплыв $6 \text{ км}$, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из $N$ течение снова отнесло его к пункту $N$. Зная, что скорость лодки в стоячей воде $90 \text{ м/мин}$, найдите скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные и приведем все единицы измерения к единой системе.

• Пусть $x$ м/мин — искомая скорость течения реки.
• Собственная скорость лодки: $v_{соб} = 90$ м/мин.
• Расстояние, которое рыбак проплыл вверх по реке: $S = 6$ км $= 6000$ м.
• Общее время в пути: $T = 4$ ч $30$ мин $= 4 \cdot 60 + 30 = 270$ мин.

Весь путь можно разделить на два этапа:

1. Движение вверх по реке (против течения).

Рыболов греб, поэтому его скорость относительно берега была равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = (90 - x)$ м/мин.

Время, затраченное на этот путь, равно:

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{6000}{90 - x}$ мин.

2. Движение вниз по реке (по течению).

Рыболов бросил вёсла, поэтому лодка просто дрейфовала по течению. Ее скорость была равна скорости течения реки:

$v_{по} = v_{теч} = x$ м/мин.

Лодка вернулась в исходный пункт N, значит, она прошла то же расстояние, что и вверх по реке, то есть 6000 м. Время, затраченное на обратный путь, равно:

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{6000}{x}$ мин.

Составление и решение уравнения.

Общее время путешествия является суммой времени движения против течения и времени движения по течению:

$T = t_{против} + t_{по}$

Подставим известные значения и выражения:

$270 = \frac{6000}{90 - x} + \frac{6000}{x}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30:

$9 = \frac{200}{90 - x} + \frac{200}{x}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(90-x)$:

$9 = \frac{200x + 200(90 - x)}{x(90 - x)}$

$9 = \frac{200x + 18000 - 200x}{90x - x^2}$

$9 = \frac{18000}{90x - x^2}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$9(90x - x^2) = 18000$

Разделим обе части на 9:

$90x - x^2 = 2000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 90x + 2000 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2000 = 8100 - 8000 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 + \sqrt{100}}{2} = \frac{90 + 10}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 - \sqrt{100}}{2} = \frac{90 - 10}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Оба корня являются положительными числами и оба меньше собственной скорости лодки ( $50 < 90$ и $40 < 90$ ), что физически возможно, так как лодка смогла плыть против течения. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

Проверим оба решения:

Если $x=40$ м/мин: $t = \frac{6000}{90-40} + \frac{6000}{40} = \frac{6000}{50} + 150 = 120 + 150 = 270$ мин. Верно.

Если $x=50$ м/мин: $t = \frac{6000}{90-50} + \frac{6000}{50} = \frac{6000}{40} + 120 = 150 + 120 = 270$ мин. Верно.

Ответ: скорость течения реки равна 40 м/мин или 50 м/мин.

706. Через $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$ после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в $27 \text{ км}$ от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде $12 \text{ км/ч}$ и расстояние от А до В равно $44 \text{ км}$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость течения реки, которая равна скорости плота, составляет $x$ км/ч.

1. Движение катера

Катер движется от пристани B навстречу плоту, то есть против течения реки. Его собственная скорость равна 12 км/ч. Следовательно, скорость катера против течения составляет $(12 - x)$ км/ч. По условию, катер прошел 27 км до места встречи. Время, которое катер затратил на этот путь, равно: $t_{катера} = \frac{S}{v} = \frac{27}{12 - x}$ часов.

2. Движение плота

Плот движется от пристани А вниз по течению со скоростью течения, то есть $x$ км/ч. Общее расстояние между пристанями А и В составляет 44 км. Поскольку встреча произошла в 27 км от В, плот проплыл расстояние: $S_{плота} = 44 - 27 = 17$ км. Время, которое плот был в пути до встречи, равно: $t_{плота} = \frac{S}{v} = \frac{17}{x}$ часов.

3. Составление и решение уравнения

Из условия известно, что катер отправился через 2 ч 40 мин после плота. Это означает, что плот был в пути на 2 ч 40 мин дольше, чем катер. Переведем это время в часы: $2 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{8}{3}$ часа. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв время движения с учетом разницы: $t_{плота} = t_{катера} + \frac{8}{3}$
$\frac{17}{x} = \frac{27}{12 - x} + \frac{8}{3}$
Перенесем все члены в одну часть, чтобы решить уравнение: $\frac{17}{x} - \frac{27}{12 - x} - \frac{8}{3} = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $3x(12 - x)$. Ограничения: $x \neq 0$ и $x \neq 12$.
$\frac{17 \cdot 3(12 - x) - 27 \cdot 3x - 8 \cdot x(12 - x)}{3x(12 - x)} = 0$
Решаем уравнение для числителя: $51(12 - x) - 81x - 8x(12 - x) = 0$
$612 - 51x - 81x - 96x + 8x^2 = 0$
Приводим подобные слагаемые и записываем квадратное уравнение: $8x^2 - 228x + 612 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 4: $2x^2 - 57x + 153 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 153 = 3249 - 1224 = 2025$
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 45}{2 \cdot 2} = \frac{102}{4} = 25.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 45}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

4. Анализ полученных корней

Мы получили два положительных корня. Проверим их на соответствие условиям задачи. Скорость течения реки $x$ не может быть больше собственной скорости катера (12 км/ч), иначе катер не смог бы плыть против течения. Корень $x_1 = 25.5$ км/ч не подходит, так как $25.5 > 12$. Корень $x_2 = 3$ км/ч удовлетворяет этому условию ($3 < 12$). Следовательно, скорость течения реки и, соответственно, скорость плота равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

707. Теплоход отправился от пристани A до пристани B, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на $\frac{1}{2}$ ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.

Для решения задачи составим уравнение, основываясь на условии, что теплоход прибыл в пункт назначения вовремя. Это означает, что запланированное время в пути равно фактическому времени в пути.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость теплохода.

Общее расстояние между пристанями А и В составляет $S = 225$ км.

1. Запланированное время в пути.
Если бы теплоход двигался с постоянной первоначальной скоростью $v$ без остановок, время в пути составило бы:$t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{225}{v}$ ч.

2. Фактическое время в пути.
Путь теплохода можно разделить на три части:
а) Движение до остановки: - Время движения: $t_1 = 1.5$ ч. - Скорость: $v$ км/ч. - Пройденное расстояние: $S_1 = v \cdot t_1 = 1.5v$ км.
б) Остановка: - Время остановки: $t_{ост} = \frac{1}{2} = 0.5$ ч.
в) Движение после остановки: - Оставшееся расстояние: $S_2 = S - S_1 = 225 - 1.5v$ км. - Новая скорость: $v_{новая} = v + 10$ км/ч. - Время движения на этом участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{225 - 1.5v}{v+10}$ ч.

Общее фактическое время в пути складывается из времени движения и времени остановки:$t_{факт} = t_1 + t_{ост} + t_2 = 1.5 + 0.5 + \frac{225 - 1.5v}{v+10} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v+10}$ ч.

3. Составление и решение уравнения.
Так как теплоход прибыл вовремя, приравниваем запланированное и фактическое время:$t_{план} = t_{факт}$$\frac{225}{v} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v+10}$

Перенесем дробь из правой части в левую:$\frac{225}{v} - \frac{225 - 1.5v}{v+10} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v+10)$:$\frac{225(v+10) - v(225 - 1.5v)}{v(v+10)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{225v + 2250 - 225v + 1.5v^2}{v(v+10)} = 2$$\frac{1.5v^2 + 2250}{v^2 + 10v} = 2$

Умножим обе части уравнения на $v^2 + 10v$ (при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$, что выполняется для скорости):$1.5v^2 + 2250 = 2(v^2 + 10v)$$1.5v^2 + 2250 = 2v^2 + 20v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$2v^2 - 1.5v^2 + 20v - 2250 = 0$$0.5v^2 + 20v - 2250 = 0$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:$v^2 + 40v - 4500 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 1600 + 18000 = 19600$$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 140}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 140}{2 \cdot 1} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость теплохода составляет 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

708. Из города A в город B, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые $\frac{3}{4}$ ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город B вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию, это также начальная скорость второго автомобиля.

Первый автомобиль проехал все расстояние $S = 120$ км с постоянной скоростью $v$. Время, которое он затратил на весь путь, составляет:

$t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}$ ч.

Теперь рассмотрим движение второго автомобиля. Его путь можно разбить на три этапа:

1. Первый участок пути: Второй автомобиль ехал первые $\frac{3}{4}$ часа со скоростью $v$. Расстояние, которое он проехал за это время: $S_1 = v \cdot \frac{3}{4} = \frac{3v}{4}$ км.

2. Остановка: Автомобиль сделал остановку на 15 минут. Переведем это время в часы, чтобы все единицы были согласованы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

3. Второй участок пути: После остановки скорость автомобиля увеличилась на 5 км/ч и стала равной $v + 5$ км/ч. Оставшееся расстояние, которое ему нужно было проехать, составляет $S_2 = 120 - S_1 = 120 - \frac{3v}{4}$ км. Время, затраченное на этот участок пути, равно $t_{2\_2} = \frac{S_2}{v+5} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$ ч.

Общее время движения второго автомобиля $t_2$ складывается из времени движения на первом участке, времени остановки и времени движения на втором участке:

$t_2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$ ч.

Поскольку автомобили вышли одновременно и прибыли в город B одновременно, их общее время в пути равно: $t_1 = t_2$.

Составим уравнение:

$\frac{120}{v} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Решим это уравнение. Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{120}{v} - 1 = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{120 - v}{v} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(120 - v)(v + 5) = v \cdot (120 - \frac{3v}{4})$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$120v + 600 - v^2 - 5v = 120v - \frac{3v^2}{4}$

$115v + 600 - v^2 = 120v - \frac{3v^2}{4}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 - \frac{3v^2}{4} + 120v - 115v - 600 = 0$

$\frac{4v^2 - 3v^2}{4} + 5v - 600 = 0$

$\frac{1}{4}v^2 + 5v - 600 = 0$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$v^2 + 20v - 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 100}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 100}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.